Електричне дипольне випромінювання - Фізичний факультет СПбДУ
Електричне дипольне випромінювання
10.1. Класичний розгляд
В рамках класичної електродинаміки електрична складова поля у хвильовій зоні випромінювання атома Томсона, що здійснює гармонічні коливання, виявляється пропорційною амплітуді його дипольного моменту (10.1). Величина відповідного вектора Пойтинга виявляється пропорційною квадрату синуса кута між напрямом коливань випромінюючого атома та направленням на спостерігача (10.2). Повна потужність, що випромінюється атомом Томсона у всіх напрямках, виходить в результаті інтегрування (10.2) по поверхні навколишнього випромінювача сфери великого радіусу (10.3). У разі випромінюючого ротатора випромінювання може розглядатися як результат спільного випромінювання двох осциляторів, що здійснюють гармонійні коливання у взаємно перпендикулярних напрямках (10.4), при цьому вираз для сумарної випромінюваної потужності виявляється таким же, як і у випадку лінійного осцилятора.
Дипольне випромінювання класичного атома Томсон.
Щільність потоку енергії випромінювання атома Томсона
Повна потужність випромінювання атома Томсона (Q0 - амплітудне значення узагальненої координати).
Щільність потоку енергії випромінювання традиційним ротатором.
10.2. Квантовомеханічний розгляд
Вираз для ймовірності спонтанного випромінювання фотона елемент тілесного кута (10.5) істотно спрощується у разі випромінювання системою зарядів, розміри якої істотно менше довжини хвилі. Оскільки інтегрування по просторових координатах, що входить у процедуру обчислення матричного елемента (10.5) здійснюється в області, де хвильові функції електронів істотно відмінні від нуля, що входить у вираз експоненційний множникможе бути розкладений у ряд Тейлора (10.6) із збереженням лише першого доданку (10.7). Обчислення матричного елемента оператора імпульсу зводиться до розрахунку матричного елемента векторного оператора дипольного моменту. У зв'язку з тим, що отриманий у грубому наближенні матричний елемент містить оператор дипольного моменту, відповідне випромінювання називають дипольним. Останній виявляється зручно уявити як розкладання по круговим ортам. Як було показано раніше, кожна з проекцій векторного оператора на кругові орти поводиться при обертаннях системи координат подібно до однієї з трьох кульових функцій першого порядку. Підстановка спрощеного виразу для матричного елемента загальну формулу (10.5) для ймовірності випромінювання фотона призводить до співвідношення (10.8), що виражає ймовірність дипольного випромінювання.
Імовірність спонтанного випромінювання фотона в нескінченно малий тілесний кут.
Наближення, пов'язане з дещицею розмірів атома порівняно з довжиною хвилі.
Матричний елемент оператора імпульсу
Імовірність випромінювання спонтанного дипольного фотона заданої поляризації у заданому напрямку.
10.3. Теорема Вігнера-Еккарта
Процедура обчислення матричних елементів, що входять до (10.8), може бути суттєво спрощена і зведена до процедури обчислення одноразового інтеграла від добутку радіальних хвильових функцій початкового та кінцевого станів оптичного електрона (10.9). Фактично сформульоване твердження і становить теорему Вигнера-Эккарта, істотно спрощує знаходження матричних елементів типу (10.7). Спрощення полягає в тому, що кутові залежності початкового і кінцевого станів атома, а також компонент векторного оператора даються відомими кульовими функціями, інтеграли від творів якихможуть бути обчислені та містяться у довідкових таблицях. Для обчислення інтеграла по кутах від твору кульових функцій виявляється зручним розкласти відповідну кінцевому стану кульову функцію базису, утвореному творами кульових функцій вихідного стану і функції, що описує кутову залежність оператора (10.10). Підстановка цього розкладання вираз для матричного елемента оператора дипольного моменту з урахуванням ортогональності станів з різними кутовими моментами та його проекціями зводить обчислення інтеграла по кутах до пошуку табличного значення 3j — символу (10.11). Т.о. для знаходження матричного елемента від будь-якої проекції оператора дипольного моменту на циркулярні орти виявляється достатнім обчислити лише один одномірний інтеграл на відстані, званий наведеним матричним елементом.
У загальному випадку оператор, що входить до складу матричного елемента, може бути розкладений за кульовими функціями. Для кожного члена такого розкладання матричний елемент обчислюється за допомогою теореми Вігнер-Еккарт (10.12).
Поділ змінних при обчисленні інтегралу, що відповідає матричному елементу оператора
c - складовою вектора дипольного моменту.
Розкладання кутової частини хвильової функції кінцевого стану за базисом з творів кульових функцій
Обчислення інтеграла по кутах за допомогою 3j символів.