Елементи теорії ортогональних сигналів - Студопедія
Теорія і техніка формування та обробки сигналів передбачає розкладання заданої функції з різних ортогональних систем функцій. Нагадаємо основні визначення, які стосуються властивостей ортогональних систем.
Нескінченна система дійсних функцій
називається ортогональною на відрізку [a, b], якщо
при n¹m. (2.2)
При цьому передбачається, що
(2.3)
тобто. що жодна з функцій аналізованої системи (2.1) не дорівнює тотожному нулю. Умова (2.2) виражаєпопарну ортогональність функційсистеми (2.1). Розмір називаєтьсянормоюфункції vn(x). (Це поняття аналогічне до поняття довжини вектора в математиці).
Функція vn(x), для якої виконується умова
, (2.4)
називаєтьсянормованоїфункцією, а система нормованих функцій v1(x), v2(x), . в якій кожні дві різні функції взаємно ортогональні, називається ортонормованої системою. Говорять, що при цьому в просторі сигналів заданийортонормований базис.
Довільний сигнал s(t) можна розкласти в ряд у вибраному ортонормованому базисі:
(2.5)
Подання (2.5) називаєтьсяузагальненим рядом Фур'єсигналу s(t) у вибраному базисі. Коефіцієнти цього ряду знаходять в такий спосіб. Візьмемо базисну функцію vk з довільним номером k, помножимо на неї обидві частини рівності (2.5) і потім проінтегруємо результати інтервалу часу, в якому задані сигнали:
(2.6)
Зважаючи на ортонормованість базису у правій частині (2.6) залишається тільки член суми з номером i = k, тому
(2.7)
тобто. коефіцієнти узагальненого ряду Фур'є визначаються як скалярні твори сигналу, що розкладається, і відповіднихбазових векторів.
Можливість уявлення сигналів у вигляді узагальнених рядів Фур'є має важливе значення. Замість вивчення функціональної залежності на безлічі точок, ми отримуємо можливість характеризувати ці сигнали лічильною (але, взагалі кажучи, нескінченною) системою коефіцієнтів узагальненого ряду Фур'є, які є проекцією вектора s(t) в ортонормованому просторі на базисні напрямки. Крім цього, узагальнений ряд Фур'є має наступну важливу властивість: при заданій системі функцій vn(x) і при фіксованому числі доданків ряду (2.5) він забезпечує найкращу апроксимацію (у сенсі мінімуму середньоквадратичної помилки) даної функції сигналу s(t).
Ортогональна система називаєтьсяповною, якщо збільшенням числа членів у ряді середньоквадратичну помилку можна зробити як завгодно малою. Умову повноти можна записати як співвідношення:
(2.8)
Що стосується сигналів s(t) вираз (2.8) приймає енергетичний сенс:
(2.9)
Тут s 2 (t0) - миттєва потужність сигналу в даний час (P = I 2 R = U 2 / R). При цьому, якщо під s(t) мається на увазі електричне коливання (струм, напруга), то є не що інше, як енергія сигналу в проміжку (t2 - t1) (за умови, що опір, в якому виділяється енергія, дорівнює 1 Ом ).
Таким чином, відповідно (2.8) енергія сигналу при використанні ортонормованої системи функцій vn(t) визначиться як:
(2.10)
Сенс отриманого висловлювання: енергія сигналу дорівнює сумі енергій всіх компонент, у тому числі складається узагальнений ряд Фур'є. При цьому мають на увазі, що проміжок часу (t2 - t1), в якому визначається енергія Е, є інтервалом ортогональності для системи функційvn(t).
Очевидно, що середня за час (t2 - t1) потужність сигналу:
(2.11)
Вибір найбільш раціональної ортогональної системи функцій визначається видом досліджуваних сигналів, поставленими завданнями та вибраними методами аналізу (синтезу). При дискретизації безперервних сигналів використовують функції виду sinc x; при цифровій обробці сигналів – шматково-безперервні функції Уолша. Найбільшого поширення набули тригонометрична та експоненційна повні ортогональні системи базисних функцій. Це наступними причинами. По-перше, гармонійне коливання є єдиною функцією часу, що зберігає свою форму при проходженні коливання через будь-який лінійний ланцюг з постійними параметрами, при цьому змінюється лише амплітуда та фаза коливання. По-друге, розкладання складного сигналу за синусами і косинусами дозволяє використовувати символічний метод, розроблений для аналізу передачі гармонійних коливань через лінійні ланцюги. Тому гармонійний аналіз набув широкого поширення у всіх галузях сучасної науки та техніки.
Чи не знайшли те, що шукали? Скористайтеся пошуком: