Енергетичні характеристики пружної хвилі

Повна механічна енергіяпружної хвилі дорівнює сумі потенційної енергії та кінетичної енергії:

. (29)

Потенційна енергіягармонійної пружної плоскої хвилі, що розповсюджується вздовж осі 0x, дорівнює

, (30)

де  – густина середовища (повітря),  – швидкість хвилі, V – обсяг простору, в якому поширюється хвиля, похідна/xхарактеризує величину відносної деформації шару середовища. Виразимо цю похідну, продиференціювавши рівняння хвилі (18**) по зміннійx:

та врахуємо формулу (25) для хвильового числа

.

Отриманий вираз зведемо в квадрат і підставимо у формулу (30):

,

. (30*)

Максимальне значення (амплітуда) потенційної енергії хвилі дорівнює

. (31)

Кінетична енергіяпружної хвилі дорівнює

, (32)

де похідна/tхарактеризує величину швидкості усунення частинок середовища в деформованому шарі. Виразимо цю похідну, продиференціювавши рівняння хвилі (18**) по зміннійt:

,

.

Отриманий вираз зведемо в квадрат і підставимо у формулу (32):

(32*)

Максимальне значення (амплітуда) кінетичної енергії хвилі таке саме, як потенційної енергії, і так само

. (33)

Підставимо вирази (30*) та (32*) у формулу (29):

. (29*)

Видно, щоповна механічна енергія гармонійної пружної хвиліперіодично змінюється у просторі з плином часу, тобто залежить від координати точки простору, що відраховується від джерела (віддаленості частки середовища), та від часу.

Амплітуда (максимальне значення) повної механічної енергії хвилі дорівнює амплітуді потенційноїабо кінетичної енергії та за відсутності поглинання є величиною постійної:

. (34)

Наступною енергетичною характеристикою пружної хвилі служитьоб'ємна щільність енергії. За визначенням, це - скалярна фізична величина, що дорівнює відношенню енергії хвилі, що поширюється в деякому обсязі простору (речовини), до цього обсягу:

. (35)

Одиниця виміру –джоуль у кубічному метрі:

.

Фізичний сенсполягає в тому, що об'ємна щільність енергії чисельно дорівнює енергії хвилі в одиниці об'єму:

.

Підставивши вираз (26*) у рівність (32), отримаємо:

, (35 *)

Отже, щільність енергії також періодично змінюється від точки до точки і з часом. Однак середнє значення щільності енергії хвилі виявляється величиною постійної та рівної:

,

. (36)

Для з'ясування кількості енергії, яку хвиля переносить у часі, служить поток енергії .Потік енергії– це скалярна фізична величина, що дорівнює відношенню енергії, що переноситься хвилею протягом деякого інтервалу часу, до цього інтервалу:

. (37)

Одиниця виміру –ватт:

.

Фізичний сенс: потік енергії чисельно дорівнює енергії, що переноситься хвилею за одиницю часу:

.

З урахуванням формули (32) потік можна записати у вигляді:

,

де–швидкість хвилі,S– поперечний майданчик, через який переноситься енергія (тобто розташована перпендикулярно до променя). Далі, підставивши вираз (35*), отримаємо

, (37 *)

З отриманого виразу видно, що потік енергії хвилі є змінною величиною у просторі та у часі.

Щоб врахуватинапрямок поширення енергії хвилі, існує характеристика, звана щільністю потоку енергії.Щільність потоку енергії– це векторна фізична величина, модуль якої дорівнює відношенню потоку енергії до площі поперечної поверхні, через яку вона переноситься, до значення цієї площі, а напрямок збігається з напрямком швидкості хвилі (т. е. вздовж променя):

. (38)

Одиниця виміру –ват на квадратний метр:

.

Якщо підставити вираз (37) у формулу (38), то модуль густини потоку енергії виявляється рівним

.

Звідси випливаєфізичний зміст: щільність потоку енергії чисельно дорівнює енергії, що переноситься хвилею за одиницю часу через поперечну поверхню одиничної площі.

.

Вираз (38) можна перетворити так:

,

. (39)

Формула (39) вперше була отримана українським фізиком Умовим, тому вектор

називають такожвектором Умова. Вектор Умова сонаправлен зі швидкістю хвилі, тобто енергія переноситься вздовж променя, а модуль дорівнює добутку об'ємної щільності енергії на швидкість хвилі:

. (39*)

Враховуючи рівняння (36*), видно, що щільність потоку енергії є величиною, що періодично змінюється:

. (39**)

Інтерес становить середнє значення щільності потоку енергії. Воно виявляється постійним у будь-якій точці простору та у будь-який момент часу:

.

Скалярну фізичну величину, що дорівнює середньому значенню модуля щільності потоку енергії, називаютьінтенсивністю хвилі:

. (40)

. (41)

Одиниця вимірювання інтенсивності –ват на квадратний метр:

.

Отже, інтенсивність пружної хвилізалежить від щільності середовища, швидкості коливань джерела хвилі, ще більше залежить від амплітуди коливань частинок середовища та частоти коливань джерела.

---