Епюри внутрішніх зусиль при прямому вигині (Лекція №4)

Прямим вигином називається такий вид простого опору, коли зовнішні сили прикладені перпендикулярно до поздовжньої осі бруса (балки) і розташовані в одній з головних площин у відповідність до конфігурацією поперечного перерізу балки.

Як відомо, при прямому згині в поперечному перерізі виникають два види внутрішніх зусиль: поперечна сила і внутрішній згинальний момент.

Розглянемо приклад розрахункової схеми консольної балки із зосередженою силоюР, рис. 1 а.,

а) розрахункова схема, б) ліва частина, в) права частина, г) епюра поперечних сил, д) епюра згинальних моментів

Рис.1.Побудова епюр поперечних сил і внутрішніх згинальних моментів при прямому згинанні:

Насамперед обчислимо реакції у зв'язку з урахуванням рівнянь рівноваги:

Після уявного розтину балки нормальним перерізом 11 розглянемо рівновагу лівої відсіченої частини (рис.1 б), отримаємо:

Таким чином, на першій ділянці поперечна сила негативна та постійна, а внутрішній згинальний момент змінюється за лінійним законом.

Для правої відсіченої частини під час розгляду її рівноваги результат аналогічний рис.1 в. А саме:

На підставі отриманих значень будуються епюри поперечних сил (рис.1 г) та внутрішніх згинальних моментів (рис.1 д).

Як випливає з побудованих епюр, а в перерізі жорсткого зв'язку. Саме цей переріз і є найнебезпечнішим у даній розрахунковій схемі.

Продиференціюємо вираз внутрішнього згинального моменту за координатоюх:

Як бачимо, після диференціювання отримано вираз поперечної сили. Випадковість це чи закономірність? ¦ Закономірність.

ДИФЕРЕНЦІЙНІ ЗАЛЕЖНОСТІ МІЖ ВНУТРІШНІМИ ЗУСИЛЬСТВАМИ ПРИ ВИГИБУ

Розглянемо розрахункову схему балки з довільноюрозподіленим навантаженням (рис.2).

Рис.2.Схема вигину балки: а) розрахункова модель, б) фрагмент балки

Складемо рівняння рівноваги:

Таким чином, дійсно: перша похідна від внутрішнього згинального моменту лінійної координати дорівнює поперечній силі в перерізі.

Ця відома властивість функції та її першої похідної успішно використовується під час перевірки правильності побудови епюр. Так, для розрахункової схеми консольної балки (рис.1) цей зв'язок дає такі перевірочні результати:

іМзменшується від0до |Pl.

таМх.

Розглянемо другий характерний приклад вигину двоопорної балки (рис.3).

а) розрахункова схема, б) модель першої ділянки, в) модель другої ділянки, г) епюра поперечних сил, д) епюра згинальних моментів

Рис.3.Вигин двоопорної балки:

Очевидно, що опорні реакціїRA = RB:

для першої ділянки (рис.3 б) -

для другої ділянки (рис.3 в)

Епюри внутрішніх зусиль представлені відповідно на рис.3 гі3 д.

На основі диференціального зв'язкуQіМ, отримаємо:

для першої ділянки:

Q > 0таМзростає від нуля до .

Q= const та M x

для другої ділянки:

Q

а) розрахункова схема, б) відсічена частина, в) епюра поперечних сил, г) епюра внутрішніх згинальних моментів

Рис.4Двохопірна балка з рівномірно розподіленим навантаженням:

На обох опорах згинальний момент відсутня. Проте небезпечним перетином балки буде центр прольоту при . Дійсно, виходячи з властивості функції і похідної при внутрішній згинальний момент досягає екстремуму. Для знаходження вихідної координатих0(рис.4 в)загальному випадку прирівняємо вираз поперечної сили до нуля. У результаті отримаємо

Після підстановки у вираз згинального моменту отримаємо:

Необхідно відзначити, що техніка побудови епюр при згині найважче засвоюється слухачами. Вам надається можливість навчитися «швидкій» побудові епюр на тесторі-тренажері, наведеному в ДОДАТКУ та вирішити у вихідних тестах з опору матеріалів Вам знайомі з постановки завдання позиції.

---