ФІНІТИЗМ це що таке ФІНІТИЗМ визначення
Знайдено 4 визначення термінаФІНІТИЗМ
одна з осн. логіко-матем. концепцій, відповідно до якої у змістовних міркуваннях, що мають на меті обґрунтування логічних і матем. теорій допускаються лише т.зв. фінітні ("кінцеві") засоби, що не використовують абстракції актуальної нескінченності і тим самим у відомому сенсі безперечні; у явному вигляді висунута ньому. математиком Д. Гільбертом. Див Метатеорія, Метод аксіоматичний, формалізм.
лат. finitus - певний, обмежений, закінчений), методологіч. установка теорії доказів, що виникла на поч. 20 ст. у роботах Гільберта та його школи з метою обґрунтування несуперечності теоретико-множин. математики. Програма Ф. передбачала формалізацію теорії (несуперечливість якої доводиться), включаючи правила виведення і способи освіти понять, і одночасно її аксіоматизацію (див. Аксіоматичний метод) при відволіканні від к.-л. (модельного) тлумачення її формальних об'єктів. До цих двох вимог, що стосуються теорій, що вивчаються, Ф. приєднував вимогу зобов'язати. наочності (конкретності) об'єктів метатеорії цих теорій, що виражає фінітну зр. на завдання підстав - зведення проблеми несуперечності до деякої комбінаторної (кінцевої) проблеми, яка вирішується без звернення до к.-л. "інтуїції нескінченного". Т. о., теоретично доказів фінітна т. зр. передбачала конкретно-містять. спосіб розгляду та кінцеву установку мислення. У певному сенсі Ф. став посиленням інтуїціоністських претензій до «техніки мислення», що використовується в метатеорії, і, навпаки, їх ослабленням у відповідності. теорії, де вільно допускалися як завгодно сильні т. зв. платоністські абстракції нескінченності та всі засоби нефінітної (класич.) Логіки. Надійність фінітної т. зр., розрахованої намінімум логіко-математич. коштів, залучених до обгрунтування, виявилася, проте, перешкодою на вирішення гол. Завдання Ф. - докази несуперечності класич. математики, що призвело до подальшого розширення фінітної т. зр. і методів самої теорії доказів (напр. за рахунок трансфінітної індукції, геделівських функціоналів кінцевих типів та ін абстрактних понять).
що йде т Д. Гільберта методологічна установка на сильні вимоги до свідомості та до надійності математичних суджень та міркувань. Відповідно до цієї установкою надійні міркування задовольняють наступним умовам (Ж. Ербран): 1) завжди розглядається лише кінцеве та певне число конкретно сприйманих предметів та функцій; 2) функції ці точно визначені, причому визначення дозволяє зробити однозначне обчислення їх значень; 3) будь-коли стверджується існування будь-якого об'єкта без зазначення способу побудови цього объекта; 4) ніколи не розглядається (як цілком певна) безліч усіх предметів будь-якої нескінченної сукупності; якщо ж говориться, що якесь міркування (або судження) правильне для всіх цих х, то це означає, що загальне міркування можна повторити для кожного конкретного х, причому саме це загальне міркування слід при цьому розглядати тільки як зразок для проведення таких конкретних міркувань .
Обмеження 1) і 4) мотивують як саму назву «фінітизм», так і відповідне вживання епітетів «фінітний» (або «фінітарний») для міркувань, суджень, доказів, висловлювань, визначень, понять, методів і т.д. це сукупність фінітних математичних міркувань.
Осмислені судження, згідно з розглянутою установкою, це ті і тільки ті судження, які можуть бути доведеніабо спростовані фінітними міркуваннями. Осмислені математичні судження називаються «реальними» судженнями (пропозиціями, висловлюваннями), решта — «ідеальними».
Це дещо розпливчасте опис фінітизму піддається і піддається належним уточненням у конкретних контекстах. Фінітізм виник у рамках т.з. програми Гільберта - вихідного пункту напряму в основах математики, відомого як формалізм. Гільберт призначав свою програму для «реабілітації» математики у зв'язку з інтуїціоністською критикою (див. Інтуїціонізм). Він спробував обгрунтувати математику з урахуванням епістемологічно міцного фундаменту фінітизму. Гільберт погоджувався з інтуїціоністами, що не всі твердження абстрактної математики мають сенс, більше того - його критерії свідомості математичних висловлювань ще обмежувальне інтуїціоністських (інтуїціоністи вважають надмірно обмежувальним у фінітизмі умовах абдо 1), т. до. послідовників»). Однак Гільберт не укладає з цього, що слід заборонити деякі прийоми доказів, що вкоренилися, і тим самим деформувати, як наполягали інтуїціоністи, математичну практику. Він резонно вважав, що в принципі припустимо (а з метою економії сил навіть і потрібно) користуватися сумнівними, з погляду інтуїціоністів, принципами доказів, якщо попередньо буде встановлено - і встановлено вже безсумнівними (тобто фінітними) міркуваннями, - що при використанні цих доказів не може бути отримано серед осмислених (тобто реальних) тверджень такого, яке виявилося б хибним. Що стосується ідеальних пропозицій, то їм не обов'язково приписувати певні істинні значення, оскільки вони, строго кажучи, фінітнонеосмислювані і тому виконують у математиці не пізнавальні, а так би мовити, «адміністративні» функції. Вони лише інструменти, призначені для зручного маніпулювання реальними висловлюваннями. Коротше кажучи, задум програми Гільберта — безперечними міркуваннями довести, що звичайна математика є консервативним розширенням фінітної математики. Т. о. є тісна аналогія між цим задумом і неопозитивістськими спробами аналізувати фізичні теорії в термінах «спостерігаються» і «теоретичних конструктів»: реальні висловлювання суть аналоги «спостерігаються», ідеальні — «теоретичних конструктів».
Але як переконатися, що деяка математична система S не містить серед своїх реальних теорем жодної хибної? Виявляється, що при деяких додаткових розумних припущеннях ця проблема еквівалентна проблемі фінітного встановлення несуперечності системи S. У свою чергу можна намагатися фінітно встановити несуперечність S, попередньо замінивши систему S її формальним аналогом і намагаючись фінітно встановити тепер синтаксичну властивість системи S-її формальну несуперечність. Фінітні міркування, призначені реалізації цієї роботи, Гільберт позначав словом «метаматематика».
Становлення та розквіт програми Гільберта зайняв 1-у третину 20-го століття. Але в 1931 році Гедель своєю другою теоремою про неповноту виявив, що деякі - просто перебувають і природні (в точно певному сенсі) - формальні висловлювання несуперечності будь-якої системи S, що містить арифметику, є пропозиціями, не розв'язними в S, якщо S дійсно несуперечлива (точніше - со-несуперечлива). Ця теорема була майже відразу витлумачена як смертельний удар за програмою Гільберта, і це критичне тлумачення міцнеутвердилося у літературі. Суть його ясно виражають, напр., Френкель і Бар-Хіллел, вбачаючи наслідок теореми Геделя в тому, що «ніяка пропозиція, яку можна точно інтерпретувати як виражає несуперечність будь-якої логістичної системи, що містить арифметику, не може бути доведено в цій системі »(Френкель А. А., Бар-Хіллел І. Підстави теорії множин. М., 1966, с. 370). Отже, обгрунтувати математику у межах фінітизму важливо. На такому фоні мали виникнути і справді виникли різні модифікації програми Гільберта, які знаменують собою різні послаблення початкової установки жорсткого фінітизму.
Однак слід зауважити, що зв'язок між програмою Гільберта і другою теоремою Геделя про неповноту не така проста, як це загальноприйнято вважати. Наведена вище цитата спотворює справжній стан справ. Гедель показав лише, що лише деякі формальні пропозиції, які інтерпретуються як висловлювання несуперечності S, не можна довести в S. Він не довів, що кожен можливий кандидат на роль формального аналога висловлювання несуперечності S обов'язково недоказуємо в S. Тому, строго кажучи, теорема Геделя не доводить неспроможність фінітизму як фундаменту для обґрунтування математики у рамках програми Гільберта. До того ж можливі модифікації програми Гільберта, пов'язані не з ослабленням початкового фінітизму, а з іншим способом його вживання. Більше того, розглядаються та розвиваються підходи до основ математики, орієнтовані на посилення фінітизму. Т. о., поки доля фінітизму складається драматично, але аж ніяк не трашче.