Фізичні основи механіки
Маса елементарної частинки є її інваріантною характеристикою і не залежить від того, рухається чи спочиває частка. Однак, введений раніше вираз для імпульсу
приблизно справедливо лише за нерелятивістських (v 2
10 -8. Однак, при розгляді руху елементарних частинок (електронів, протонів тощо) релятивістські поправки найчастіше вже не малі: правильні релятивістські значення фізичних характеристик можуть у тисячі разів перевищувати свої значення, розраховані за нерелятивістськими формулами.
Мал. 6.12. Залежність фізичних величин від швидкості
Припустимо, що справедливе і в релятивістському (v
c) у разі вираження для імпульсувільноїчастинки масиm, що рухається в нашій системі відліку зі швидкістю можна записати у вигляді
де - деяка функція тількимодуляшвидкості. Вільна частка - це замкнута система з однієї частинки, для замкнутої системи простір ізотропно (один з перевірених часом загальних постулатів сучасної фізики), тому вектор імпульсу повинен бути спрямованим по єдиному вектору в завданні, а саме: вектору швидкості частинки, з цієї ж причини його модуль не може залежати від того, в якому напрямку рухається частка, отже . Вираз (6.7.2) - це імпульс, тобто за розмірністю, це добуток маси на швидкість, отже функція безрозмірна. Відповідно, вона може залежати просто від модуля швидкості частинкиv, оскільки це розмірна величина. Можлива лише залежність від безрозмірного відношення швидкості частки до якоїсь іншої швидкості. Неважко збагнути, що це має бути інваріантна швидкість, інакше за однієї і тієї ж швидкостічастинки це відношення, а разом з ним функція і сам імпульс прийматимуть різні значення, що суперечить здоровому глузду. У нашому розпорядженні є лише одна інваріантна швидкість: швидкість світла у вакууміс. Таким чином, маємо:
Релятивістський вираз для імпульсу (6.7.2) повинен при малих швидкостях переходити до нерелятивістського виразу (6.7.1), тому можна стверджувати, що
Встановити вид функції(v)можна різними способами, зокрема, в такий спосіб.
Уявімо, що в нерухомій системі відліку вздовж осі0xрухається тіло масоюmі на нього в напрямку руху протягом короткого часуdtдіє силаF. Під дією цієї сили тіло набуває швидкостіv+dv. Зміна імпульсу тіла дорівнює
Розглянемо рух цього тіла у системі відлікуK', що рухається вздовж осі0xзі швидкістюVрівної швидкості тіла до дії на нього сили, тобтоV=v. Це так звана супутня система відліку, в цій системі відліку тіло спочатку (до початку дії сили) спочивало, а після дії сили набуло швидкостіdv'. Оскільки йдеться про нескінченно малу швидкість тіла, то в цій системі відліку застосовні закони нерелятивістської механіки. Отже,К'швидкість, набута тілом, дорівнює
Швидкості тіла уK–v+dtта уK'–dv'пов'язані релятивістським законом перетворення швидкостей , в якому треба покластиV=v:
Нескінченна дещицяdv'дозволяє переписати дріб 1/(1 +vdv'/c2 ) у наступному вигляді 1/(1 +vdv'/c2) = 1 -vdv'/c2. Підставляючи це співвідношення в (6.7.7), отримуємо
У правому вираженнів (6.7.8) опущено доданок другого порядку дещиці пропорційне (dv') 2 . Скоротивши ліворуч і праворуч швидкістьv, отримуємо зв'язок між прирощеннями швидкості в системах відлікуКіК'
Підстановка у (6.7.9) другого закону Ньютона у вигляді (6.7.6) дає
І, нарешті, підстановка (6.7.10) у вираз для збільшення імпульсу (6.7.5)
Час дії силиdt'у системіК'пов'язаний з її часом діїdtу системіКспіввідношенням
що дозволяє збільшення імпульсу в системі До виразити через час дії силиdtв тій же системіК. Таким чином, для швидкості зміни імпульсу в системіКмаємо:
Тепер найголовніше:дотримуючись принципу відносності, що свідчить, що закони природи повинні виглядати однаково у всіх інерційних системах відліку, вимагаємо, щоб і в системіК(порівняємо з другим рівнянням у (6.7.). 6)) другий закон Ньютона мав вигляд
Порівнюючи (6.7.12) та (6.7.13) для функції η(ξ) отримуємо наступне диференціальне рівняння
Шляхом прямого диференціювання функції
легко переконатись у тому, що вона є рішенням рівняння (6.7.14) та задовольняє умову переходу до нерелятивістської межі (6.7.4).
Релятивістський вираз для імпульсу, що задовольняє всім сформульованим вище умовам і справедливо за будь-яких швидкостей має вигляд:
Або коротше, використовуючи релятивістський фактор
При малих швидкостях виразv 2 (тобто космонавти відчувають звичну земну силу тяжкості). Згідно з класичним законом руху ракета досягне швидкості світла через час.
тобто приблизно за рік. Насправді в цей момент часу її швидкість дорівнюватиме
Через два роки шляху швидкість станерівною
через п'ять років буде
через 10 років отримаємо
Скільки б часу не прискорювалася ракета, її швидкість ніколи не досягне швидкості світла. Швидкість ракети, як заведено говорити у математиків, буде асимптотично наближатися до швидкості світла у вакуумі і дорівнюватиме їй через нескінченний час.