Формула Лагранжа

Скористаємося геометричним змістом похідної, щоб дати наочні пояснення справедливості того, що існує дотична до графіка f у точці з абсцисою з інтервалу (а; b), паралельна січній, що проходить через точки A (a; f (а)), В (b f (b)).

Розглянемо пряму l, паралельну АВ і не має спільних точок з частиною графіка, що відповідає проміжку [а; b]. Переміщатимемо цю пряму l у напрямку до графіка f так, щоб вона залишалася паралельною АВ. Зафіксуємо положення l0 цієї прямої у момент, коли в неї з'являться загальні точки з цією частиною графіка.

З рис.1 видно, що кожна з таких «перших» загальних точок — точка торкання прямої l0 з графіком f. Позначимо абсцису цієї точки через с. Тоді f'(c)=tg α, де α - кут між прямою l0 і віссю абсцис. Але lАВ, тому кут α дорівнює куту нахилу січної АВ, тобто.

Отже, якщо функція диференційована, то інтервалі (а; b) знайдеться така точка c∈ (а; b) (рис. 2), що

Ця формула називаєтьсяформулою Лагранжа.

---