Формула Сімпсона - Студопедія

Для побудови формули Сімпсона попередньо розглянемо таку задачу: обчислити площу S криволінійної трапеції, обмеженою зверху графіком параболи y = Ax 2 + Bx + C, зліва пряма х = - h, праворуч пряма x = h і знизу відрізком [-h; h]. Нехай парабола проходить через три точки (рис.8): D(-h; y0) E(0; y1) та F(h; y2), причому х2 - х1 = х1 - х0 = h. Отже,

Тоді площа S дорівнює інтегралу:

. (3)

Виразимо цю площу через h, y0, y1 та y2. Для цього обчислимо коефіцієнти параболи А, В, С. З умови, що парабола проходить через точки D, E та F, маємо:

Вирішуючи цю систему, одержуємо: C = y1; A =

Підставляючи ці значення А і С (3), отримуємо потрібну площу

(4)

Перейдемо тепер висновку формули Сімпсона для обчислення інтеграла

І тому відрізок інтегрування [a; b] розіб'ємо на 2n рівних частин довжиною

На відрізку [x0; x2] підінтегральну функцію замінюємо параболою, що проходить через точки (x0; y0), (x1; y1) та (x2; y2), і для обчислення наближеного значення інтеграла від х0 до х2 скористаємося формулою (4). Тоді (на рис. 4 заштрихована площа):

Склавши отримані рівності, маємо:

Або (5)

Формула (5) називаєтьсяузагальненою формулою Сімпсонаабоформулою парабол, так як при її виведенні графік підінтегральної функції на частковому відрізку довжини 2h замінюється дугою параболи.

Завдання працювати:

1. За вказівкою викладача або відповідно до варіанта зТаблиці 4 завдань (див. Додаток) взяти умови – підінтегральну функцію, межі інтегрування.

2. Скласти блок-схему програми та програму, яка повинна:

- Запитати точність обчислення певногоінтеграла, нижня та верхня межі інтегрування;

- Обчислити заданий інтеграл методами: для варіантів 1,4,7, 10 ... - Правих, для варіантів 2,5,8, ... - Середніх; для варіантів 2,5,8, - лівих прямокутників. Вивести кількість розбиття діапазону інтегрування, при якому досягнуто заданої точності обчислення;

- Обчислити заданий інтеграл методом трапецій (для парних варіантів) та методом Сімпсона (для непарних варіантів).

- вивести кількість розбиття діапазону інтегрування, при якому досягнуто заданої точності обчислення;

- вивести значення контрольної функції для заданого значення аргументу та порівняти з обчисленими значеннями інтеграла. Зробити висновки.

Зміст звіту : титульний лист, тема та мета роботи, № варіанти завдання та власне завдання, опис методів чисельного інтегрування, математична постановка задачі, блок-схема алгоритму, текст програми та результати її роботи . Роботу програми студент повинен показати на ПЕОМ. Зробити висновки.

Контрольні питання

1. Що таке певний інтеграл?

2. Чому поряд із аналітичними методами використовуються чисельні методи обчислення певних інтегралів.

3. У чому полягає суть основних чисельних методів обчислення певних інтегралів.

4. Вплив кількості розбиття на точність обчислення певного інтегралу чисельними методами.

5. Як обчислити інтеграл будь-яким методом із заданою точністю?

Чи не знайшли те, що шукали? Скористайтеся пошуком:

Вимкніть adBlock! і оновіть сторінку (F5)дуже потрібно

---