ГЕОДЕЗИЧНЕ ВІДОБРАЖЕННЯ

ГЕОДЕЗИЧНЕ ВІДОБРАЖЕННЯ, проективне відображення, - відображення f, що перекладає геодезичні лінії простору U геодезичні лінії простору V. Г. о. f : U → V, де U і V - простори, в яких брало визначені геодезичні, локально гомеоморфно (диффеоморфно, якщо U, V - гладкі різноманіття).

Простір, що локально допускає Г. о. на евклідове простір, зв. проектно плоским. Р. о. одного риманова простору інше існує у виняткових випадках. З риманових просторів проектно плоскі тільки простори постійної кривизни (див. [1]). Опис усіх нериманових проектно плоских метричних просторів становить четверту проблему Гільберта (див. [2]).

Теоретично просторів афінної зв'язності замість Р. о. говорять про геодезич. перетворення зв'язності, маючи на увазі перехід до іншої зв'язності на тому ж різноманітті зі збереженням геодезичних. Перехід від зв'язності Г̅ i jk зв'язності Г̅ i jk є Г. о. за умови Г i jk = Г i jk + δ i kψj + δ i jψk, де ψl - поле ковектора. Щоб простір з афінною зв'язністю був проектно плоским, необхідне і достатньо звернення в нуль тензора Вейля.

Літ.: [1] Схоутен І. А., Стройк Д. Дж., Введення в нові методи диференціальної геометрії, пров. з нім., т. 2, М., 1948; [2] Погорєлов А. Ст, Четверта проблема Гільберта, М., 1974.

  1. Математична енциклопедія. Т. 1 (А – Г). ред. колегія: І. М. Виноградов (глав ред) [та ін] - М., «Радянська Енциклопедія», 1977, 1152 стб. з ілл.