Геодезичні лінії - Степанов С
Геодезичні лінії (Степанов С.Є., 2000), МАТЕМАТИКА
Розглянуто один із об'єктів класичної диференціальної геометрії – геодезичні лінії. Описано локальні властивості та зазначено їх можливі додатки у неевклідовій геометрії, релятивістській фізиці та геодезії.
Володимирський державний педагогічний університет
На кривій поверхні геодезичні лінії, замінюючи прямі, дозволяють будувати геометрію так, як це робиться на площині.
Стаття знайомить з основами теорії геодезичних (див., наприклад, [1]) на прикладах результатів, отриманих відомими вченими у минулому, та сучасних досягненнях.
НА СФЕРІ, ЦИЛІНДРІ
І ВИПУКЛИХ МНОГОГРАНИКАХ
Аж до XVI століття люди думали, що живуть на евклідовій площині Е2. Ця помилка дозволяла їм вважати, що великі відстані вони вимірюють відрізками прямих (найкоротшими - за визначенням Архімеда), і користуватися на території теоремами геометрії Евкліда, зокрема відомою теоремою Піфагора c2 = = a2 + b2 для прямокутного трикутника з і катетами с.
Але якщо вірити переказам, починаючи з кінця V століття до Різдва Христового (до н.е.) грецькі філософи та астрономи (і серед них добре відомий нам філософ і математик Піфагор) висловлювали припущення про кулястість Землі, а в III столітті до н.е. . багатогранний грецький вчений Ератосфен Кіренський з великим ступенем точності обчислив довжину кола земної кулі. У той же час виділилася в самостійну науку та отримала свою сучасну назву геодезія. Остання вивчала методи вимірювань на земній поверхні та визначення розмірів земної кулі, що було необхідно для складання географічних карт, яких потребували торгівля, мореплавання та військова справа.
Для доказутого, що на дузі кола великого радіусу сфери S2 реалізується мінімум відстані між двома довільними точками М1 і М2, розглянемо це коло як лінію G перетину сфери S2 з площиною Е2, що проходить через її центр. Тоді відображення f простору Е3 щодо площини Е2 буде для сфери S2 зберігає відстань перетворенням f : S2 S2 з безліччю нерухомих точок G = S2 між двома будь-якими точками, на S2 немає.
Якщо при цьому дуга М1М2 кола великого радіусу має довжину, велику pR, то для вимірювання відстані треба вибирати другу дугу того ж кола. Оскільки в першому випадку (рис. 1) можна знайти лінію, що з'єднує точки М1 і М2 довжини меншої pR. Друга з двох дуг кола великого радіусу буде найкоротшою, і її довжиною буде вимірюватися відстань між точками М1 і М2. При цьому саме коло великого радіусу називається геодезичною лінією сфери S2.
Задамося питанням: як справи з виміром відстані між точками на інших відомих нам поверхнях?
Наприклад, на циліндрі відстань між двома будь-якими точками М1 і М2 вимірюється довжинами відрізків прямолінійних утворюють, дуг кругових перерізів і гвинтових ліній, що з'єднують ці точки. Для доказу розріжемо циліндр по одній з його прямолінійних утворюючих, а потім вигнемо на площину Е2. В результаті прямолінійні утворювальні не зазнають жодних змін, довжини ж дуг названих кривих збережуться, але самі дуги стануть відрізками прямих ліній (рис. 2). Тому відрізок прямої, що з'єднує точки М1 і М2 після відновлення циліндра в колишньому вигляді постає у вигляді найкоротшої - відрізка прямолінійної утворює, дуги кругового перерізу або гвинтової лінії (див. рис. 2). Всі ці криві звуться геодезичних ліній циліндра.
Дляобчислення відстані між двома точками на поверхні опуклого багатогранника надходять аналогічним чином. Зокрема, розглядається розгортка багатогранника і дві дані точки з'єднуються найкоротшою, що складається з прямолінійних відрізків у межах розгортки. Так, наприклад, у разі куба вибирають з одинадцяти різних його розгорток ту, яка дозволяє з'єднати задані наперед точки відрізком прямої.
Кола великого радіусу сфери S2 і кругові перерізи циліндра відносяться до так званого класу замкнутих кривих, кожна з яких без зламів повертається до вихідної точки і не перетинає саму себе. Таким чином, на сфері через кожну точку проходить безліч замкнутих геодезичних, на циліндрі ж - тільки одна.
Як виглядатимуть замкнуті геодезичні на опуклих багатогранниках? Відповідь це питання простіше дати з прикладу куба. Замкнену геодезичну куба розглядатимемо як багатокутник мінімального периметра, кожна сторона якого лежить у своїй грані куба. Очевидно, що три сімейства таких геодезичних лежать на площинах, паралельних граням куба. Елементарні обчислення (див. [2]) дозволяють зробити висновок, що є ще чотири сімейства замкнутих геодезичних, які мають вигляд шестикутників зі сторонами, паралельними діагоналям граней куба. Таким чином, через кожну точку куба проходять чотири різні замкнуті геодезичні.
Зауважимо, що у загальній постановці питання існування на тій чи іншій поверхні замкнутих геодезичних дуже складне. Його вивченню присвячено безліч статей і навіть монографія (див. [3]). Наприклад, одним з останніх результатів у загальній теорії відносності був доказ існування у просторі-часі Ейнштейна замкнутої часу подібної геодезичної,що отримала образну назву.
Підбиваючи проміжні підсумки від прикладів, перейдемо до більш загальним поняттям та фактам, відомим математикам.
ГЕОДЕЗИЧНІ ЛІНІЇ ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТІ
Розглянемо тільки ті шматки поверхонь, які складаються з регулярних точок (див. [4]), а з усіх кривих на них обмежимося гладкими.
У диференціальній геометрії (див. [4]) криву G, що з'єднує на поверхні дві довільні точки М1 і М2 прийнято називати найкоротшою, якщо її довжина найменша серед усіх кривих з тими ж кінцями.
Зазначимо, що це термін, запозичений в Архімеда, зустрічається у виданому 1794 року другому томі М.А. Лежандра щодо їм прямий на площині. При цьому як на площині, так і на поверхні відстань між точками М1 та М2 вимірюється найкоротшою довжиною.
Гладка крива на поверхні називається геодезичною, якщо кожна її досить мала дуга є найкоротшою. Очевидно, що кожна найкоротша є геодезичною лінією, але протилежне, взагалі кажучи, не так. Всі розглянуті нами на сфері, циліндрі та опуклих багатогранниках криві являють собою приклади геодезичних.
На прикладах цих кривих безпосередньо перевіряються загальні геодезичні властивості.
Властивість 1. На кожному досить малому шматку поверхні можна провести через дві точки одну і тільки одну дугу геодезичної лінії, так само як і на площині Е2 через дві точки можна провести одну і тільки одну пряму лінію, що з'єднує їх.
Дійсно, знаючи дві точки М1 і М2 сфери S2 та її центр - точку О, можна провести площину Е2, що проходить через ці три точки. Тоді G = S2 0) та негативною на поверхні негативної повної кривизни (К на поверхнях постійної негативної повної кривизни геометрії Лобачевського згеодезичними як прямі лінії. Така інтерпретація Бельтрами площини Л2 доводила, що у геометрії Лобачевського немає внутрішніх протиріч, бо інакше такі протиріччя мали позначитися на звичайній теорії поверхонь.
У геодезії при складанні карток важливе значення має геодезичне відображення. При такому відображенні геодезичні лінії однієї поверхні переходять геодезичні лінії інший.
Наприклад розглянемо відображення поверхонь із збереженням довжини - ізометрію. Оскільки геодезична відстань між двома точками при цьому відображенні повинна дорівнювати геодезичної відстані між образами точок, то таке відображення повинно переводити геодезичні лінії в геодезичні ж.
Відображення, яке здійснюється шляхом згинання циліндра на площину, є окремим видом ізометрії. При згинанні циліндра на площину Е2 геодезичні лінії циліндра перетворюються на відрізки прямих ліній площини, які грають роль геодезичних. Правда, якщо представляти циліндр як поверхню необмежено продовжується, то його гвинтові криві, що здійснюють незліченну кількість витків, будуть розрізані на безліч дуг, кожна з яких при згинанні стане відрізком своєї прямої лінії. Тому в цьому випадку говорити про локальне геодезичне відображення циліндра на площину (див. рис. 2).
Розглянемо приклад локально геодезичного відображення сфери S2 на евклідову площину Е2, яке не є ізометричним.
Нехай сфера S2 лежить на площині Е2 і S 2'- її нижня відкрита півсфера, тобто напівсфера без обмежує її кола. Геодезичними лініями напівсфери S2' як і раніше будуть дуги кіл великого радіусу сфери S2. Тоді для будь-якої дуги g? ? S 2', якає дугою кола великого радіусу сфери S2 , завжди знайдеться площина Е 2'така, що Пряму лінію l, яку ми поставимо у відповідність g, визначимо умовою
При цьому важливо відзначити, що сфера S2 не допускає геодезичного відображення на площину Е2.
Як відомо (див. [4]), сфера S2 є прикладом поверхні постійної повної кривизни. Виявляється, тільки поверхні постійної повної кривизни і серед них сфера допускають локальні геодезичні відображення на площину Е2. Це, зокрема, випливає з теореми більш загального змісту, яку довів у 1868 Е. Бельтрамі.
Теорема Бельтрамі. Єдині поверхні, які допускають локальні геодезичні відображення поверхні постійної повної кривизни, також є поверхнями постійної повної кривизни.
Роком пізніше У. Діні, вивчаючи завдання динаміки про перетворення рівнянь руху механічних систем, що зберігають траєкторії, довів, що справедлива така
Теорема Діні. Дві неізометричні поверхні допускають локальне геодезичне відображення тоді і лише тоді, коли відстань між їх досить близькими точками можна обчислювати за формулами
Ds2 = (f (x) + j (y)) (Dx2 + Dy2)
на першій поверхні та
Теорія геодезичних ліній та геодезичних відображень цікава з прикладної точки зору і для сучасних досліджень, оскільки рух багатьох типів механічних систем, а також тіл або частинок у гравітаційних та електромагнітних полях, у суцільному середовищі часто відбувається по траєкторіях, які можна розглядати як геодезичні лінії деяких просторів. трьох і більше вимірів, що визначаються енергетичними режимами, у яких протікають процеси.
На цій підставі два простори, що допускаютьгеодезичне відображення один на одного, описують процеси, що відбуваються при еквівалентних зовнішніх навантаженнях по одним і тим же "траєкторіям", але при різних енергетичних режимах. Отже, один із цих процесів можна моделювати за допомогою іншого. Деякі аспекти цього викладено у вже цитованій статті [5] та монографії [6] відомого своїми дослідженнями у загальній теорії відносності професора Казанського університету А.З. Петрова.
1. Буземан Г. Геометрія геодезичних. М.: Фізматгіз, 1962.
2. Штейнгауз Г. Сто завдань. М: Наука, 1980.
3. Клінгенберг В. Лекції про замкнуті геодезичні. М.: Світ, 1982.
4. Степанов С.Є. Про крою одягу за П.Л. Чебишеву // Соросовський Освітній Журнал. 1988. ╧ 7. С. 122-127.
5. Амінова А.В. Псевдоріманові різноманіття із загальними геодезичними // Успіхи матем. наук. 1993. Т. 48, вип. 2. С. 107-164.
6. Петров А.З. Нові методи у загальній теорії відносності. М: Наука, 1966.
Рецензент статті Ю.П. Соловйов