Геометрія Галілея і дуальні числа
РОЗДІЛ 1. Найпростіші геометрії афінного типу
§1. Теоретико-груповий підхід до геометрії…………………………5
§2. Еквіафінна система……………………………………………. 9
§3. Афінні перетворення та його свойства………………………..11
§4. Подібність як окремий випадок афінного перетворення………13
ГЛАВА 2. Геометрія Галілея та дуальні числа
§1. Визначення геометрії Галілея…………………………………..15
§2. Відстань між точками………………………………………. 19
§6. Дуальні числа та операції з них……………………………33
§7. Зображення дуальних чисел……………………………………. 39
Планіметрія - наука про властивості фігур площини, інваріантних щодо рухів площини. Фігури, які можна поєднати рухами, геометрія вважає рівними і не розрізняє. Всім відомі рухи евклідової планіметрії: паралельне перенесення, поворот, осьова симетрія. Якщо змінити групу рухів, наприклад додати перетворення подоби, то зміниться і геометрія. У певному сенсі будь-яка група перетворень породжує свою геометрію. Метою роботи є пробудження інтересу вчителів до теорії дуальних чисел і геометрії Галілея, а також розгляд найпростіших геометрій афінного типу. · познайомитися з основними поняттями та визначеннями геометрії Галілея; · розглянути матеріал про дуальні числа, дії над ними та їх геометричну інтерпретацію; · порівняти геометрію Галілея з геометрією площини дуальних чисел. далі, одна з неевклідових геометрій – геометрія Галілея. У чомусь ця дивна геометріявідрізняється від евклідової, а в чомусь схожа на неї. Робота складається з двох розділів. афінного перетворення. У другому розділі логічним продовженням цієї теми є знайомство з геометрією Галілея і дуальними числами в наступній послідовності: визначення геометрії Галілея, завдання відстані між точками, коло, кут між прямими, трикутник, дуальні числа та операції над ними, зображення дуальних чисел, також показано рішення 17 завдань.
Окремо необхідно порушити питання про найменування геометричної системи. У науковій літературі розглянута нижче геометрія називається «напівевклідовою», «прапорною», «параболічною», «ізотропною» або «галілеєвою»; однак жодна з цих назв не можна визнати цілком вдалим. Терміни "прапорна геометрія", "параболічна геометрія" (або "двічі параболічна геометрія") і "ізотропна геометрія" виправдовуються обставинами, які ніяк не можуть бути розкриті в елементарному творі, розрахованому на осіб, які не мають серйозної математичної підготовки. Перевагою терміна «напівевклідова геометрія» є його близькість до назви «псевдоевклідова геометрія», прийнятої для геометрії, пов'язаної з принципом відносності Ейнштейна; крім того, цей термін звучить досить повсякденно і не апелює до невідомих читачів понять на кшталт «прапора», «ізотропної площини» або «параболічної метрики». Однак першу гідність назви «напівевклідова геометрія» можуть оцінити лише особи, знайомі з «псевдоевклідовою геометрією Мінковського»; друге ж є одночасно і недоліком, оскільки длячитача, недосвідченого в сучасній науковій термінології, найменування «напівевклідова геометрія» звучатиме надто «дивно» (це щось на кшталт «евклідової напівгеометрії»?). Нарешті, назва «геометрія Галілея», що найбільш укорінилася останнім часом, історично неточно – Галілео Галілей, творчість якого відноситься до початку XVII століття, зрозуміло, не знав цієї геометрії, оскільки ідея про існування низки рівноправних геометричних систем належить до найбільших наукових досягнень XIX століття . Більш точним є найменування «геометрія, пов'язана з принципом відносності Галілея», проте воно надто довго для того, щоб його можна було вживати систематично. Ось чому ми все ж таки використовуємо назву «(неевклідова) геометрія Галілея», деяким виправданням якого може бути та блискуча ясність і повнота, з якою сформулював Галілей свій «принцип відносності», що безпосередньо призводить до аналізованої (неевклідової!) геометрії.
Глава I. Найпростіші геометрії афінного типу.
§1. Теоретико-груповий підхід до геометрії
Теорія геометричних перетворень є основою загального визначення геометрії.
Нехай дана група перетвореньGдеякої непустої множиниМ. Дві фігуриFіF'називаютьсяG-еквівалентними, якщо в групіGзнайдеться таке перетворенняf, щоf(F)=F'. ПоняттяG-еквівалентності є відношенням еквівалентності на множині всіх підмножин множиниМ.Наприклад, якщоМ -безліч точок площини, аG– група рухів, то «G-еквівалентність» замінюється терміном «рівність», якщоG– подібність, то «G-еквівалентність» – «подібність», якщоG- афінне перетворення,то "G-еквівалентність" - "афінна еквівалентність".
НехайF– дана фігура.Ті властивості фігуриF, які зберігаються за будь-яких перетвореннях зG, називають інваріантними властивостями фігуриFщодо групиG.
Геометрія - наука, що вивчає такі властивості фігур, які залишаються інваріантними при всіх перетвореннях певної групи.
Схема включення вивчених груп перетворень площини:
Інваріанти основних груп перетворень площини