Гіперболічні комплексні числа, Наука, FANDOM powered by Wikia
Розглянемо систему комплексних чисел , в якій операція множення має вигляд : $ z_cdot z_2 = x_1 cdot x_2 + y_1 cdot y_2 + i (x_1 cdot y_2 + x_2 cdot y_1) , $ де $ z_1 = x_1 + i\cdot y_1, $ $z_2=x_2+i\cdot y_2. $ Зватимемо їїгіперболічною системоюкомплексних чисел. Покажемо, що вказана система є комутативним кільцем з дільниками нуля, знайдемо геометричне місце точок дільників нуля цього кільця. Нагадаємо деякі визначення: Багато $ T $ з двома бінарними алгебраїчними операціями $ $ називається кільцем, якщо $ T(+) $ - Абелева група і $ \forall a,b,c \in T $ виконується $ a \cdot(b+c)=a\cdot b + acdot c $ і $ (a+b)cdot c=acdot c + bcdot c $Визначення. Безліч G з бінарною операцією алгебри > називається комутативною(Абелевой) групою, якщо виконуються 4 аксіоми: 1) Асоціативність, тобто $(a*b)*c=a*(b*c) $ 2) $ \exists e $ - нейтральний елемент, такий що $ e*a=a*e=a $ $ \forall a\in G $ 3) $ \forall a\in G $ $ \exists $ зворотний елемент $ a^ $ , такий що $ a*a^=a^*a=e $ 4) $ a*b=b*a $ $ \forall $ $ a,b\in G $I. Покажемо, що система H гіперболічних комплексних чисел є Абелевою групою зі складання! $ z_1=x_1+iy_1 $ $ z_2=x_2+i y_2 $ $ z_3=x_3+i y_3 $ , де $ x_1,x_2,x_3,y_1,y_2,y_3\in \mathbb $ 1) $ \Rightarrow ) $ $ (x_1+i y_2)+ ((x_2+i y_2)+(x_3+i y_3))=(x_1+i y_1)+ (x_2+x_3+i(y_2+y_3))=x_1+x_2+ x_3+i(y_1+y_2+y_3) $ $ \Leftarrow) $ $ ((x_1+i y_1)+(x_2+i y_2))+(x_3+i y_3)= (x_1+x_2+i ( y_1+y_2))+(x_3+i y_3)=x_1+x_2+x_3+i(y_1+y_2+y_3) $ 2) Покажемо, що $ \exists $ e - нейтральний елемент : $ z +e=e+z=z $ ! $ z = x + iy $ і ! e=0 $ (x+iy)+0=0+(x+iy)= x+iy $ $ \Rightarrow $ у H $ \exists $ e-нейтральнийелемент : 3) Покажемо, що у H $ \exists $ зворотний елемент: $ \forall z\in H $ $ \exists z^ $ : $ z+z^=z^+z=e $ ! $ z=x+iy $ Візьмемо як $ z^ $ : $ z^=-x-iy $ Тоді $ x+iy+(-x-iy)=(-x-iy)+(x+iy )=0 $ $ \Rightarrow $ в H $ \exists $ зворотний елемент 4) Покажемо, що H-комутативанная(Абелєва) група > Перевіримо властивість: $\forall z_1,z_2\in H$$\Rightarrow$$z_1+z_2=z_2+z_1$ ! $ z_1=x_1+iy_1 $ і $ z_2=x_2+iy_2 $ $ x_1+iy_1+x_2+iy_2=x_1+x_2+i(y_1+y_2)=x_2+x_1+i(y_2+y_1)=x_2 +iy_2+x_1+iy_1 $ $ \Rightarrow $ Властивість виконується $ \Rightarrow $ H(+)- коммутативна(Абелєва) групаII.Покажемо що в H виконуються властивості: 1) $ (z_1+z_2)\cdot z_3=z_1\cdot z_3 + z_2\cdot z_3 $ 2) $ z_1\cdot (z_2+z_3)= z_1\cdot z_2+z_1\cdot z_3 $ $ \forall z_1, z_2,z_3\in H$ ! $ z_1=x_1+iy_1 $ , $ z_2=x_2+iy_2 $ , $ z_3=x_3+iy_3 $ 1) а) $ (z_1+z_2)\cdot z_3=(x_1+iy_1+x_2+iy_2)( x_3+iy_3)=(x_1+x_2+i(y_1+y_2))(x_3+iy_3)= ((x_1+x_2)x_3+(y_1+y_2)y_3+i((x_1+x_2)y_3+x_3(y_1+) y_2))=x_1x_3+x_2x_3+y_1y_3+y_2y_3+i((x_1+x_2)y_3+x_3(y_1+y_2))) $ б) $ z_1\cdot z_3+z_2\cdot z_3= x_1x_ i(x_1y_3+x_3y_1)+x_2x_3+y_2y_3+i(x_2y_3+x_3y_2)=x_1x_3+x_2x_3+y_1y_3+y_2y_3+i(x_1y_3+x_3y_1+x_2y_ 3>2) а ) $ z_1\cdot (z_2+z_3)= (x_1+iy_1)((x_2+iy_2)+(x_3+iy_3))=(x_1+iy_1)(x_2+x_3+i(y_2+y_3))= x_1\ cdot (x_2+x_3)+y_1\cdot (y_2+y_3)+i(x_1\cdot (y_2+y_3)+(x_2+x_3)\cdot y_1)= x_1x_2+x_1x_3+y_1y_2+y_1y_3+i( +x_2y_1+x_3y_1) $ б) $ z_1\cdot z_2+z_1\cdot z_3= (x_1+iy_1)(x_2+iy_2)+(x_1+iy_1)(x_3+iy_3)= x_1x_2+i_1 x_1y_2+x_2y_1)+x_1x_3+y_1y_3+ i(x_1y_3+x_3y_1)=x_1x_2+x_1x_3+y_1y_2+y_1y_3+i(x_1y_2+x_2y_1+x_1y_3+III.Покажемо ,що H -комутотивне кільце, тобто $ \forall z_1,z_2 \in H $ $ \Rightarrow $ $ z_1\cdot z_2=z_2\cdot z_1 $ 1) $ (x_1+iy_1)\cdot (x_2+ iy_2)=x_1x_2+y_1y_2+i(x_1y_2+x_2y_1) $ 2) $ (x_2+iy_2)\cdot (x_1+iy_1)=x_2x_1+y_2y_1+i(x_2y_1+x_1y_2) $ властивість комутотивності кільця виконується $ \Rightarrow $ Система гіперболічних комплексних чисел H є комутативним кільцем.
Покажемо, що в H$\exists$ дільники нуля і знайдемо їхнє геометричне місце точок на площині
Визначення.Пара ненульових елементів кільця, добуток яких дорівнює 0 називається дільниками нуля.
! $ z_1=x_1+iy_1 $ $ z_2=x_2+iy_2 $ причому $ \left\ x_1 \neq 0 \qquad u \qquad y_1 \neq 0 \\ x_2 \neq 0 \qquad u \qquad y_2 \neq 0 \end\right. $
$ \left \ x_1 \ cdot x_2 + y_1 \ cdot y_2 = 0 \ \ x_1 \ cdot y_2 + x_2 \ cdot y_1 = 0 \ end \ right. $ $ \Rightarrow $ $ \left \ x_1 \ cdot x_2 = -y_1 \ cdot y_2 \ \ x_1 \ cdot y_2 = - x_2 \ cdot y_1 \ end \ right. $ Виразимо з першого рівняння системи $ x_1 $ : $ x_1=-\frac $ і підставимо: $ -\frac>=-x_2\cdot y_1 $ $ \Rightarrow $ $ -\frac> =-x_2 $ $ \Rightarrow $ $ y_2^=x_2^ $ $ \Rightarrow $ $ y_2=\pm x_2 $ тобто $ z_2 $ знаходиться або на прямий $ y=x $ або на $ y=- x$, за винятком точки $(0;0)$, інакше отримаємо протиріччя визначенню дільників нуля.
Виразимо з другого рівняння системи $ y_2 $ : $ y_2=-\frac $ і підставимо : $ x_1\cdot x_2= y_1\cdot \frac $ $ \Rightarrow $ $ x_1=\frac> $ $ \Rightarrow $ $ y_1^=x_1^ $ $ \Rightarrow $ $ y_1=\pm x_1 $ тобто перше число $ z_1 $ знаходиться також або на прямій $ y=x $ або на прямій $ y= -x$, за винятком точки $(0;0)$, інакше отримаємо протиріччя визначенню дільників нуля. Очевидно, якщо перше число перебуває на прямий $ y=x $ , то другечисло не може перебувати також на $ y=x $ , а перебуватиме на прямій $ y=-x $Доказ.
! $ x_1=y_1 $ і $ x_2=y_2 $ $ \Rightarrow $ $ \left\ y_1\cdot y_2=-y_1\cdot y_2 \\ y_1\cdot y_2 = -y_1\cdot y_2 \end\right. $ $ \Rightarrow $ Система не здійсненна ! $ x_1=y_1 $ і $ x_2=-y_2 $ $ \Rightarrow $ $ \left\ -y_1\cdot y_2=-y_1\cdot y_2 \\ y_1\cdot y_2 = y_2\cdot y_1 \end\right. $ $ \Rightarrow $ Система здійсненна Тому дільники нуля кільця гіперболічних комплексних чисел $ \exists $ і знаходяться : одне число знаходиться на прямій $ y = x $ , а друге на прямій $ y = -x $ , за винятком точки $ (0;0) $