Гомоморфізм
Наприклад, розглянемо групи \((G_1,+)\!\,\), \((G_2, \circ)\). Відображення \(f \colon G_1 \to G_2\!\,\) називається гомоморфізмом груп \(G_1\) і \(G_2\), якщо воно одну групову операцію переводить в іншу: \(f(a+b)=f (a) \ circ f (b) \).
Зміст
Пов'язані визначення [ред.]
- Гомоморфний образ- образ математичного об'єкта, що має структуру напівгрупи, групи, кільця, алгебри при гомоморфному відображенні. Іноді говорять і про гомоморфні образи інших математичних об'єктів, наприклад, графів.
Наглядні ілюстрації [ред.]
Ось як наочно ілюструє поняття гомоморфного образу групи Деніел Горенстейн:
У гомоморфному образі групи «відбивається» певне у цій групі множення, хоча сама група хіба що зменшується. Це схоже на розгляд об'єкта в перевернуту підзорну трубу: його загальні риси зберігаються, хоча видимі розміри стають меншими.
Важлива характеризування простих груп у термінах гомоморфного образу: проста група може як гомоморфним чином або тривіальну одиничну групу, або саму себе. І навпаки, якщо група має як гомоморфних образів лише тотожний і одноточковий, вона проста. Ця характеристика корисна для наочного визначення проста задана група чи ні.
Типи гомоморфізмів [ред.]
- Автоморфізм - ізоморфізм на безліч
- Ізоморфізм - взаємно однозначний (бієктивний) гомоморфізм
- Мономорфізм – однозначний (ін'єктивний) гомоморфізм
- Ендоморфізм - гомоморфізм в безліч
- Епіморфізм – сюр'єктивний гомоморфізм
Література [ред.]
Корн Р., Корн Т.,Довідник з математики - 1970, стор 332