Група кватерніонів
Теоретично групгрупа кватерніонів— це неабелева [en] * група восьмого порядку, ізоморфна набору з восьми кватерніонів з операцією множення. Вона часто позначається буквоюQабоQ8, і визначається завданням групи
Q = ? =-1 \ rangle, & gt;
де 1 - одиничний елемент, а елемент -1 комутує з іншими елементами групи.
Зміст
ГрупаQ8має той самий порядок, що й діедрична групаD4[en] , але має іншу структуру, що можна бачити на графах Келі та діаграмах циклів:
Діедрична група D4 виходить зі спліт-кватерніонів [en] так само, як і Q8 з кватерніонів.
Група кватерніонів має незвичайну властивість гамільтоновості - будь-яка підгрупа групиQє нормальною підгрупою, і при цьому сама група не є абелевою. [2] Будь-яка група гамільтонів містить копію групиQ. [3]
Можна побудувати чотиривимірний векторний простір з базисом i,j,k> і перетворити його на асоціативну алгебру з використанням наведеної вище таблиці множення базисних векторів і продовживши операцію множення по дистрибутивності. Отримана алгебра буде тіломквартирніонів. Зауважимо, що це не те саме, що і групова алгебраQ(яка має розмірність 8). Назад можна почати з кватерніонів івизначитигрупу кватерніонів як мультиплікативну підгрупу, що складається з восьми елементів i, −i,j, −j,k, −k>. Комплексний чотиривимірний векторний простір з тим самим базисом називається алгеброюбікватерніонів.
Зауважимо, щоi,jіkмають порядок 4Qі будь-які дваїх породжують всю групу. Інше завдання групиQ[4] , Що показує це:
Центром і комутантами групиQє підгрупа . ФакторгрупаQ/ ізоморфна четверній групі КлейнаV. Група внутрішніх автоморфізмів групиQізоморфна фактор групиQпо центру, і тому також ізоморфна четверній групі Клейна. Повна група автоморфізмів групиQізоморфнаS4, симетричній групі чотирьох букв. Групою зовнішніх автоморфізмів [en] групиQєS4/V, яка ізоморфнаS3.
Група кватерніонів може бути представлена як підгрупа повної лінійної групи GL2(C). Подання
Оскільки всі з наведених вище матриць мають одиничні визначники, вони задають уявлення групиQу спеціальній лінійній групі SL2(C).
Існує також важлива дія групиQна восьми ненульових елементах двовимірного векторного простору над кінцевим полемF3. Подання
де - три елементи поляF3. Оскільки визначник всіх матриць над полемF3 дорівнює одиниці, це є уявленням групиQу спеціальній лінійній групі SL(2, 3). Більше того, група SL(2, 3) має порядок 24, а Q є нормальною підгрупою групи SL(2, 3) з індексу 3.
Як показав Річард Дін (Richard Dean) в 1981 році, група кватерніонів може бути задана як група Галуа Gal(T/Q), деQє полем раціональних чисел, аTє полем розкладання багаточлена
Доказ використовує основну теорему теорії Галуа, а також дві теореми про циклічні розширення ступеня 4. [6]
Група називаєтьсяузагальненою групою кватерніонів(або дициклічною групою), якщо вона має завдання [4]
длядеякого цілогоn≥ 2. Ця група позначається якQ4nі має порядок 4n. [7] Коксетер позначив цідициклічні групияк , розглядаючи їх як окремий випадок бінарної поліедральної групи [en] , пов'язаної з поліедральними групами [en] (p,q,r) і діедральної групою (2,2, n). Звичайна кватерніонна група відповідає випадкуn= 2. Узагальнена кватерніонна група ізоморфна підгрупі групи GL2(C), породженої елементами
де ωn= e iπ/n[4] . Вона також ізоморфна групі, породженій [8] кватерніонамиx= e iπ/nтаy= j.
Теорема Брауера - Сузукі [en] стверджує, що групи, для яких силовські 2-підгрупи є узагальненими кватерніонами, не можуть бути простими.