ГРУППОВА АЛГЕБРА

ГРУППОВА АЛГЕБРА групи G над полем K - асоціативна алгебра над полем K, елементами якої є всілякі формальні кінцеві суми виду ∑g∈G αgg, g ∈ G, αg ∈ K, а операції визначаються формулами:

(У правій частині другої формули сума також кінцева). Ця алгебра позначається KG; елементи групи G утворюють алгебри базис KG; множення базисних елементів у Р. а. індукується груповим множенням. Алгебра KG ізоморфна алгебри функцій, що визначаються на групі G зі значеннями в полі До і приймають лише кінцеве число ненульових значень; множення у цій алгебрі - пакунок функцій.

Цю ж конструкцію можна розглянути і для випадку, коли K – асоціативне кільце. Таким чином приходять до поняття групового кільця групи G над кільцем K; у разі, коли До комутативно і з одиницею, групове кільце зв. часто також груповий алгеброю групи над кільцем.

Р. а. були введені Г. Фробеніусом (G. Frobenius) та І. Шуром [1] у зв'язку з вивченням уявлень груп, оскільки розгляд уявлень групи G над полем K рівносильно вивченню модулів над Г. а. KG. Так, теорема Машке мовою групових алгебр формулюється так: якщо G - кінцева група, а K - поле, то Р. а. KG напівпроста тоді тільки тоді, коли порядок групи G не ділиться на характеристику поля K.

На початку 50-х років. 20 ст. з'явилися дослідження з Р. а. нескінченних груп у зв'язку із застосуванням цілочисленних Р. а. в алгебраїч. топології, а також з використанням методів теорії Р. а. щодо будови групи. Цьому сприяла також низка проблем, поставлених для Р. а., найвідоміша з них: чи містить дільники нуля Р. а. групи без кручення? (Проблема Капланського).

Деякі напрями досліджень по групових кільцях та алгебрах.

Радикал та напівпростота. Групове кільце має ненульовий ніліютентний ідеал тоді і тільки тоді, коли або К має ненульовий нільпотентний ідеал, або порядок нек-рої кінцевої нормальної підгрупи з G ділиться на порядок елемента з адитивної групи кільця К. Якщо К - кільце без нільїдеалів і порядок будь-якого елемента G не ділиться на порядок жодного елемента з адитивної групи К, то KG без нільїдеалів. Р. а. KG над полем характеристики 0 напівпроста в сенсі Джекобсона радикала, якщо містить трансцендентний елемент над полем раціональних чисел.

Вкладення Р. а. у тіла. Р. а. упорядкованої групи вкладено в тіло (теорема Мальцева-Неймана). Існує припущення, що це правильно для Р. а. будь-якої правоупорядкованої групи.

Зв'язок теоретико-кільцевих властивостей групового кільця KG із будовою групи G та кільця K. Напр., KG первинне тоді і тільки тоді, коли кільце К первинне і група G не має кінцевих нормальних підгруп.

Проблема ізоморфізму: якщо групові кільця KG та КН ізоморфні як K-алгебри, то який зв'язок існує між будовою груп G та Н, зокрема, коли G та Н ізоморфні? З'ясувалося, що однозначно визначає групу групове кільце періодичної роздільної групи класу 2 над кільцем цілих чисел і групове кільце лічильної абелевої р-групи над кільцем характеристики р.

Розглядалися різні узагальнення поняття Р. а., напр. поняття схрещеного твору групи і кільця, для якого залишаються справедливими багато властивостей Р. а.

[1] Schur I., «Sitzber. Preuss. Akad. Wiss.», 1905, S. 406-32; [2] Кертіс Ч., Pайнер І., Теорія уявлень кінцевих груп та асоціативних алгебр, пров. з англ., М., 1969; [3] Passman D. S., Infinite group rings, N. Y., 1971; [4] Сучасні проблеми математики, т. 2,М., 1973, с. 5-118; [5] Бовді А. А., Групові кільця, Ужгород, 1974; див. також літ. при статті Подання груп.

Математична енциклопедія. Т. 1 (А – Г). ред. колегія: І. М. Виноградов (глав ред) [та ін] - М., «Радянська Енциклопедія», 1977, 1152 стб. з ілл.