Ідеал (алгебра)

Ідеал- одне з основних понять загальної алгебри. Найбільше значення ідеали мають у теорії кілець, але також визначаються і для напівгруп, алгебр та деяких інших алгебраїчних структур. Назва "ідеал" веде своє походження від "ідеальних чисел", які були введені в 1847 німецьким математиком Е. Е. Куммером [1] . Найпростішим прикладом ідеалу може бути підкільце парних чисел у кільці цілих чисел. Ідеали дають зручну мову для узагальнення результатів теорії чисел загальні кільця.

Наприклад, у кільцях замість простих чисел вивчаються прості ідеали, як узагальнення взаємно простих чисел вводяться взаємно прості ідеали, можна довести аналог китайської теореми про залишки для ідеалів.

У деякому важливому класі кілець (т.зв. дедекіндових) можна навіть отримати аналог основної теореми арифметики: у цих кільцях кожен ненульовий ідеал можна єдиним чином подати як добуток простих ідеалів.

Зміст

Аналогічно для напівгрупи її ідеалом називається підполугрупа, на яку вірно якесь із цих умов (чи обидва для двостороннього ідеалу), те саме й у алгебри.

  • Для будь-якого кільця R саме R інульовийідеал 0 є ідеалами (двосторонніми). Такі ідеали називаютьсятривіальними.Власні ідеали- це ідеали, що утворюють власну підмножину, тобто не збігаються з усім R [2] [3] .
  • Багато класів кілець і алгебр визначаються умовами з їхньої ідеал чи грати ідеалів. Наприклад:
  • Кільце, яке не має нетривіальних двосторонніх ідеалів, називаєтьсяпростим.
  • Кільце, яке не має нетривіальних ідеалів (не обов'язково двосторонніх), є тілом. також: кільце головних ідеалів, артинове кільце, нетерове кільце.
  • З будь-якимкомутативним кільцем з одиницею пов'язаний топологічний простір Spec ⁡ A A> - Спектр кільця, точками якого є всі прості ідеали кільця A, відмінні від A, а замкнуті множини визначаються як безлічі простих ідеалів, що містять якусь множину E елементів кільця A (або, що те саме, ідеал I, породжений цим множиною). Ця топологія називається топологією Заріського.
  • Поняття ідеалу був із поняттям модуля. Ідеал (правий чи лівий) можна визначати як підмодуль кільця, розглянутого як правий чи лівий модуль над собою.
  • Ліві ідеалиRє правими ідеалами в т.з. протилежному кільці R 0 & gt; — кільце з тими самими елементами і тим самим додаванням, що й дане, але з певним множенням a ∗ b = b a , і навпаки.
  • Двосторонні ідеали в кільцях та алгебрах відіграють ту ж роль, що й нормальні підгрупи у групах:
  • Для будь-якого гомоморфізму f : A → B ядром Ker ⁡ f f> є ідеал, і, навпаки, всякий ідеал — ядро ​​деякого гомоморфізму.
  • Більш того, ідеал однозначно (з точністю до ізоморфізму) визначає образ гомоморфізму, ядром якого він є: f (A) ізоморфний фактор кільця (факторалгебре) A/I.
  • У кільці Z > цілих чисел всі ідеали є головними і мають вигляд n Z = < n z z ∈ Z &==\>> де n ∈ N 0 _> .
  • Перетин ідеалів також є ідеалом (часто, особливо в комутативної алгебри, перетин називається найменшим загальним кратним).
    • Головний ідеал: Ідеал, породжений одним елементом.
    • Звісно породжений ідеал
    • Мінімальний ідеал
    • Максимальний ідеал: Власний ідеалIназиваєтьсямаксимальним, якщо не існує власний ідеалJтакий, щоIвласне підмножинаJ. Факторкільце за максимальним ідеалом є полем.
    • Модулярний ідеал
    • Нільпотентний ідеал
    • Первинний ідеал
    • Примарний ідеал
    • Простий ідеал
    • Радикальний ідеал: Ідеал, що збігається зі своїм радикалом.
    • Головні ідеали.ЯкщоpналежитьR, ak —будь-яке ціле число, то < p r + k p : r ∈ R , k ∈ Z >\>> - буде мінімальним правим ідеалом, що міститьp, а < r p + k p : r ∈ R , k ∈ Z >\>> - Мінімальним лівим ідеалом вR. Вони називаються, відповідно, головними правим і лівим ідеалом, породженими p . У комутативному випадку ці ідеали збігаються і позначаються також (8) (p) . Якщо кільцеRмістить одиничний елемент, то оскільки k p = ( k ∗ 1 ) p = p ( k ∗ 1 ) головні ідеали, породженіa,можна записати p R = < ; p r : r ∈ R >> і R p = < r p : r ∈ R >> відповідно. Будь-який ідеал, що містить елементp, містить головний ідеал, ним породжений.

    y тоді й тільки тоді, коли різницюx-yналежитьI. Перевіряється, що у сумі чи творі одне із операндів замінити на еквівалентний, новий результат буде еквівалентний вихідному. Таким чином операції складання та множення стають певними на множиніR/Iкласів еквівалентності, перетворюючи його на кільце (комутативність і наявність одиниці переносяться з кільцяR, якщо вони є). Одночасно з цим кільцем визначений гомоморфізм факторизації (канонічний гомоморфізм) π : R → R / I , який кожному елементуaзRставить у відповідність клас еквівалентності, в якому він міститься. Клас еквівалентності елементаaє безліч елементів видуa+iпо всьомуiз ідеалуI, тому він позначаєтьсяa + I, але іноді використовується і загальне позначення для класу еквівалентності[a]. Тому π(a) = [a] = a + I. КільцеR/Iпри цьому називаєтьсяфакторкільцемкільцяRза ідеаломI.

    Ідеали були введені Дедекіндом в 1876 році в третьому виданні його книги «Лекції з теорії чисел». Це було узагальнення концепції ідеальних чисел, введених Куммером.

    Надалі ці ідеї розроблялися Гільбертом і особливо Нетер.