Імплікація.

Імплікаціявідповідає конструкції «Якщо …. то».

Визначення.Імплікацією висловлюваньaі b називається висловлювання, що позначається a → b (і визначається наступною таблицею

тобто. імплікація хибна тоді і лише тоді, коли a – істина, аb – брехня.

a– посилка, b – висновок.

Сприйняттю визначенняімплікаціїчинить опір, хоча в математиці воно дуже часто нами використовується. З арифметики відома теорема «якщо ціле число ділиться на шість, воно ділиться на два» − висловлювання Q. Висліва(x)– «число ділиться на шість»; висловлювання b(x) – «число ділиться на два», тоді Q(x) ≡a(x) → b(x).Ясно,що заx = 6, 2, 3реалізуються четвертий, другий і перший рядки. Однак, не можна підібрати число для третього рядка.

Але можна навести інші приклади. Наприклад, якщо син здасть сесію на відмінно, то батько купить йому машину. У разі подіїаіbможе бути концептуально зовсім пов'язані. Можливі імплікації виду "Якщо сьогодні четвер, то 2 х 2 = 5". Ця імплікація вірна у всі дні, крім четверга.

Наведені операції є незалежними. Одні можуть бути виражені через інші.

Теорема 1.Справедливі такі рівносильності:

Доведемо з допомогою таблиці істинності перше співвідношення.

Справедливість першого співвідношення доводиться тотожністю останніх шпальт.

З наведених рівносильностей видно, що →

виражаються через

Можна показати, що з операції можна висловити будь-яку операцію алгебри висловлювань. Тому надалі основна увага приділяється цим операціям, які називаютьсябулевськими (булевими) операціями алгебри висловлювань. Джордж Буль (1815 - 1864) - англійський математик, засновник символічної логіки, яку тепер прийнято називати булевою алгеброю.

Теорема 2. Справедливі такі рівносильності для булевої алгебри висловлювань:

---