Ін’єктивні, сюр’єктивні та бієктивні відображення
Приклад 6. Розглянемо відображення g : R → R, яке зводить кожне дійсне число у квадрат: g(x) = x2. Графік g - це підмножина у декартовому творі R х R = R 2 . За допомогою декартової системи координат кожну пару чисел (x, у) можна зобразити точкою на площині. Тоді графік функції g(x) = x 2 , тобто множина , зображується параболою.
Розглянемо властивості, які можуть мати відображення. Відображення f : A → B називається ін'єктивним, якщо
Іншими словами, ін'єктивне відображення переводить різні елементи в різні:
Відображення f : A → B називається сюр'єктивним (або відображенням A на B), якщо
При сюр'єктивному відображенні будь-який елемент B є образом деякого елемента a ∈ A. Відображення називається бієктивним, якщо воно є ін'єктивним та сюр'єктивним. При біологічному відображенні кожному b ∈ B відповідає певний a ∈ A, тому використовується двостороння стрілка:
У цьому випадку кажуть, що між множинами A і B встановлено однозначну взаємно відповідність.
Розглянуте в прикладі 6 відображення g : R → R, що зводить кожне число квадрат, не є ін'єктивним, оскільки 3 2 = (—3) 2 = 9. Не є g і сюр'єктивним, оскільки негативні числа не можуть бути квадратами дійсних чисел .
У прикладі 5 відображення є сюр'єктивним і не є ін'єктивним, так як у будь-яке коло можна вписати багато різних трикутників.
Приклад 7. Нехай N = < 1, 2, 3, 4. - безліч натуральних чисел, M = - безліч парних натуральних чисел. Розглянемо відображення a : N → M, що діє за правилом: a(n) = 2n. Тому a ін'єктивно. Будь-яке парне