Як робили арки та куполи за старих часів
Стиль готика – один із найбільш видовищних та вражаючих архітектурних стилів. Своєю загадковістю та містикою він завдячує не лише зовнішній привабливості, а й математичним розрахункам. У цьому я переконалася, розглянувши шикування стрілчастих арок і знайшовши в них ірраціональність. Культові споруди Сходу зі стрілчастими арками та підковоподібними куполами також містять ірраціональність. Виявляється, ірраціональність у побудові забезпечувала надійність та гармонійність будівлі.
Стрільчасті арки
Крім характерної для класичної архітектури напівциркульної арки у Стародавньому Римі був відомий секрет створення ще одного виду арки – стрілчастої. Порівняно з напівциркульною, стрілчаста арка виявилася більш досконалою конструкцією, оскільки завдяки ній відбувається менший бічний розпір стін, а отже, і менша витрата каменю. Щоб переконатися в тому, що в стрілчастій арці присутня ірраціональність, розглянемо рішення задачі на основі якої була створена її конструкція.
Побудуємо коло радіусу R з центром О. Зобразимо три рівні кола, що стосуються один одного і першого кола і спробуємо виразити їх радіуси. Для цього спочатку візуально уявіть їхнє розташування на малюнку. А, В і С - центри рівних кіл, D, Е, Р - точки їх торкання з даним колом, К, L, М - точки їх торкання один з одним. Радіуси рівних кіл позначимо r. ∆АВС рівносторонній. Точки М, О, В, Про лежать на одній прямій, тому що кожна з них рівновіддалена від точок А і С. Аналогічно точки К, Про, З, Е лежать однією прямий. Точки F, А, Про, L також лежать на одній прямій.
Розглянемо, наприклад, трикутник АОМ. У ньому АМ = r, АO = ОF-АF = R - r, кут ОАМ = 30 °, кут АМО прямий. Отримуємо АМ=АТ*cos30°, т. е. r=. Звідси. . Завдання вирішено. Якщо з'єднати дугамиточку F з точкою E, а потім F з точкою D, то вийде форма дуже близька до форми стрілчастої арки. Тепер звернемося до самого креслення. Стрільчаста арка утворюється перетином двох частин кіл. На рис. показана стрілчаста арка, в яку вписано коло і дві рівні півкола. Вимірявши ширину арки, ми зможемо знайти не тільки радіус великого кола, а й довжину відрізка ОD, що входить до центральної частини фасаду. Позначимо радіус великого кола через х. Тоді OO2=х+5; DO2 = 5; OB=20 - x; DB=10. Двічі скориставшись теоремою Піфагора для трикутників ОDО2 та ОDВ, складемо рівняння 2 - 52 = 2 -102. Звідки х = 6 і ОО2 = 6+5 = 11 м. А довжина загального катета ОD цих трикутників дорівнює: .І ми знову дійшли ірраціонального результату. Прекрасно збереглася мечеть Ібн-Тулуна в Каїрі: тут уперше з'явилися напрочуд пропорційні високі стрілчасті арки, що стали "візитною карткою" ісламської архітектури. У Мечеті Хасана арки утворюють з кожного боку вхід до величезної зали.
Зразок архітектури ранньої епохи -мавзолей Араб-ата в Самаркандській області. Зовнішню композицію мавзолею визначає кубоподібний об'єм та стрілчастий купол.
Незважаючи на те, що стрілчасті арки дуже поширені в спорудах сходу, найвидовищнішим їх застосуванням є готичний храм. Високі стрілчасті арки, ребристі склепіння та каркасна система дозволяли перекривати величезні простори, нескінченно збільшувати висоту кафедральних соборів, збирати в них безліч людей.
Готика зародилася у Північній Франції у середині 12 ст. і досягла розквіту у 1-й половині 13 ст. Смілива та складна каркасна конструкція готичного собору, що втілила торжество зухвалої інженерної думки людини, дозволила подолати масивність романських будівель, полегшити стіни.і склепіння, створити динамічну єдність внутрішнього простору. Конструктивна основа собору — каркас зі стовпів і стрілчастих арок, що спираються на них. Враження нестримного руху вгору і до вівтаря створюється рядами струнких стовпів, потужним зльотом гострих стрілчастих арок, прискореним ритмом аркад верхньої галереї. На фасадах варіюються стрілчасті арки та багаті архітектурно-пластичні та декоративні деталі.
Архітектура готики - символ нескінченності. Художній образ готичного собору, всупереч звичайним уявленням, втілюється з допомогою математичного розрахунку конструкції. Він висловлює містичну потяг душі до невідомого, загадкового.
Підковоподібні арки та куполи
Неможливо описати все різноманіття геометричних прийомів, якими володіли середньоазіатські архітектори. Розгляд лише деяких способів застосування математики до створення гармонійних архітектурних залежностей змушує дивуватися і захоплюватися майстерністю та талантом древніх архітекторів. Вони відкривають нові форми арок, серед яких особливий інтерес представляє підкова.
Розглянемо таке завдання. Проведемо два взаємно перпендикулярні діаметри даного кола . Побудуємо бісектриси чотирьох одержаних прямих кутів. На око, від руки зобразимо шукані кола. Чотирьохкутник АВСD - квадрат. Проведені діаметри є загальними дотичними парами шуканих кіл. Нехай М - точка торкання шуканих кіл. ∆AMO прямокутний та рівнобедрений. АМ = ОМ = r, де r - радіус шуканих кіл. Тоді. Отримуємо рівняння, звідки. Ми здобули ірраціональний результат. Якщо взяти половину кола і об'єднати дугою два малі кола вийде підкова арка. На основі цього завдання будується даний креслення.
Для побудови такої аркиз'єднують верхні кінці отвору - точки А і В. Далі ділять отриманий відрізок точками О1 О2 О3 на чотири рівні частини.
З точок О1 і О3 як із центрів проводять кола радіусом О1А. Їх загальна дотична МN перпендикулярна до відрізку АВ.
Від променя О3В відкладають кут ВО3С, що дорівнює 60°, і продовжують пряму О3С до перетину з прямою МN у точці О4.
З точок О1 і О3 проводять два малі кола радіусом О1А, а з точки О4 - велике коло радіусом О4В, яка перетинає малі кола в точках D і D '.
Лінія ADD'B становить підкову арку, яка завершує отвір.
Неважко здогадатися, що й у цій арці прихована ірраціональність. Дійсно, якщо прийняти радіус О1А малого кола за 1, то довжини дуг АD і ВD рівні .
Трикутник О1О3О4 - рівносторонній, в якому сторона дорівнює 2. Тоді радіус О4D більшого кола дорівнює 3 тому довжина дуги DD' дорівнює . Довжина всієї лінії ADD'B виражається ірраціональним числом.
Найбільш яскравими прикладами застосування підковоподібних арок та куполів є культові споруди у Бухарі та Самарканді. Арки різних видів - підковоподібні, "зламані", з використанням колон і "сталактитів" як капітелі - улюблений прийом декорування культових будівель ісламу. Арки використовують для оформлення склепінь між колонами молитовного залу, для декорування вікон.