Як швидко вивчити таблицю множення
Батьки школярів часто запитують: Як швидко і легко вивчити таблицю множення? Люди вивчають таблицю з різних причин, але найчастіше просто тому, що потрібна для школи. А навіщо це потрібно?
Таблицю множення використовують:
• Для обчислення з багатозначними числами в розумі або на папері без калькулятора. Приклад: щоб помножити 42*78, треба використовувати чотири факти з таблиці множення, плюс знання десяткової системи
• Щоб бачити глибокі зв'язки в математиці та розвивати свою «математичну інтуїцію»
До обох цілей (але на набагато вищому їх рівні, ніж дозволяє традиційне визубрування таблиці) можна прийти приємними, математично цікавими та педагогічно обґрунтованими «дорогами». Швидкість цієї подорожі краще, звісно, вибирати індивідуально. «Чотири дні» зі змісту – це приблизна оцінка, розрахована за такими умовами:
• Учень розуміє кількісні відносини в межах перших двох сотень, вміє складати і віднімати, і розуміє, що таке множення (наприклад, бачить 3*4 як три групи з чотирьох предметів), але не пам'ятає таблицю напам'ять
• Діти граються з ментором індивідуально або у маленьких групах
• Усі учні зацікавлені у вивченні цієї теми
Якщо діти ще не знають, що таке множення, чи тільки вчаться оперувати великими числами, наші матеріали можна використовувати, але підхід та швидкість краще модифікувати.
Із сотень існуючих трюків та методів, пов'язаних із таблицею множення, ми вибирали за двома критеріями. 1 - трюк короткий, не більше двох кроків (через це, наприклад, відсіялася система Трахенберга); і 2 - для трюку існує математично доступне пояснення-доказ. Те, що залишилося в результаті, легко запам'ятати,легко зрозуміти і легко використовувати!
Завдання розраховані на обговорення з ментором або з іншими учнями та з ментором, скоріше ніж на самостійне рішення. Вони можуть призвести до досить просунутої математики, яку учень сам може або не помітити або не зуміти оформити в словах.
Починаємо вивчати таблицю множення. Безкоштовні клітки …і залишається 36 прикладів!
Ось звичайна таблиця множення цілих чисел від нуля до десяти:
Для вивчення напам'ять виглядає страшнувато. Сто окремих фактів! Зубрити їх так довго і нудно… А насправді скільки фактів треба запам'ятати, щоб знати всю цю таблицю? Не сто, це точно.
Уважно і довго, доки не набридне, вивчайте таблицю, і ви знайдете безліч цікавих ідей для трюків та методів швидкого запам'ятовування.
Завдання 0. Вивчивши таблицю, знайдіть якнайбільше способів навчитися використовувати факти з неї без зубріння. Багато математиків, і не тільки вони, працювали над знаходженням таких методів, так що насправді зубрити доведеться набагато менше, ніж сто фактів. А скільки, за вашими оцінками? Запам'ятайте свою відповідь…
Починаємо уважно дивитися і бачимо, що таблиця симетрична. Адже 4 * 8 = 8 * 4, a 9 * 6 = 6 * 9, і так далі. Щоб усе не перераховувати, запишемо це спостереження словами:
Якщо одне число помножити на друге, то відповідь така сама, як і друге число помножити на перше.
Тобто, частина таблиці нам дається абсолютно безкоштовно! А яка частина? Якщо сказали «половина», то майже вгадали. Насправді симетрія нам дає 45 безкоштовних фактів.
Завдання 1. Чому саме 45? Знайдіть 3 різні способи підрахунку. Скільки «безкоштовних» фактів надасть симетрія таблиці множення до 20*20? До 30 * 30?
Є ще два числа, на які множити дуже легко. Це 1 і10.
Викреслимо і множення на ці числа зі списку тих, що треба визубрити. На таблиці ці "безкоштовні" факти тепер показані дуже світлим сірим. І ось що залишиться:
Наприкінці першого дня одним із методів із Завдання 1 підраховуємо, скільки нам залишилося вивчити фактів. Ну що, вже не таке страшно? Тоді чекаємо на наступний день множення!
Двічі два – чотири … і залишається 21 факт!
Подвоювати легко. Вчені навіть вважають, що подвоювання «запрограмоване» в мозку людини (і деяких тварин), нарівні з розрізненням понять «великий – маленький» або «один-багато». Малята вчитися подвоювати, ділячи цукерки на двох, рахуючи туфельки та рукавички, розглядаючи предмети у дзеркалі… Щоб помножити на два — складіть число із самим собою! А щоб помножити на чотири? Помножити на чотири - це все одно, що помножити на два рази. Тобто для винесення на чотири, подвоїмо число (це легко), а потім подвоює результат.
Завдання 3. Як використовувати цей принцип для множення на 8, на 16 і т.д.? Числа в цьому "і т. д." називаються «ступеня двійки». Перший ступінь — 2, другий — 4, третій — 8… Продовжуйте цей ряд, поки не набридне. А який рівень двійки — число 64? Відповідь це питання називається, математичною мовою, «знаходженням логорифма числа 64 з підстави 2».
Так що для множення на два та чотири зубрити нічого не треба. Як і для множення на вісім, але це вже знає три кроки (бо вісім - третій ступінь двійки, дивись Завдання 3), так що множення на 8 ми прибережемо для іншого трюку. А поки що, давайте зафарбуємо факти, від зубріння яких нас рятує подвоєння та множення на 4 за допомогою подвоєння, світло-блакитним:
Дивіться, як мало залишилося темних клітин у таблиці - зате попереду багато цікавої математики.До зустрічі третього дня.
Універсальний метод і множення на 5 ... і залишається 10 клітин!
Результати множення на п'ять можна навчитися швидко видобувати без зубріння, причому кількома різними способами. Тобто можна вибрати для використання найсимпатичніший вам спосіб.
Ділити навпіл майже так само легко, як подвоювати. Висновок: щоб помножити на п'ять, множте на десять, а потім діліть на два. Наприклад, п'ять помножити на вісім і половині від вісімдесяти.
П'ять помножити на чотири рівно половині від сорока.
Завдання 4. А чому, власне, ми маємо право так робити? З математичної точки зору…
Ще один спосіб множення числа на п'ять: якщо число парне, приписуємо нуль до половини числа. Якщо число непарне, приписуємо п'ять до половини попереднього числа. Наприклад, щоб помножити вісім на п'ять, приписуємо нуль о пів на восьму. Щоб помножити сім на п'ять, приписуємо п'ять о пів на шість.
Завдання 5. Чому цей метод працює? Чим він відрізняється від першого способу? (Підказка: нічим! З математичної точки зору…)
А ось обіцяний універсальний спосіб множення. Він працює для всіх без винятку чисел, але для більшості з них надто повільно. Просто рахуємо не по одному «Один, два, три…» а за кількістю, яке множимо стільки разів, на скільки множимо. Спробуйте це зробити для 7*8: «Сім, чотирнадцять, двадцять один, двадцять вісім, тридцять п'ять, сорок два, сорок дев'ять, п'ятдесят шість»
Важко, правда ж? І повільно ... А тепер спробуйте 5 * 8: "П'ять, десять, п'ятнадцять ... ... сорок". Просто та швидко!
Завдання 6, психологічне. Як ви вважаєте, чому людям легко вважати п'ятірками?
До речі, трійками теж неважко вважати: три, шість, дев'ять… (чому, як видумаєте?). Наприкінці третього дня перефарбуємо світло-фіолетові клітини, які тепер можна не зубрити: все множення на п'ять і множення на три. Ось що залишиться:
Залишилося трохи клітин, але зате - найважчі, кажете ви? Наступного дня ви з ними одним махом розправимося!
Трюки на пальцях … І всі клітини зафарбовані!
Цей дуже гарний трюк прийшов звідкись зі Сходу, як і багато інших чудових математичних ідей (наприклад, ідея нуля). Передбачається, що множити числа від двох до п'яти ви вже вмієте (щоб навчитися можна скористатися ідеями перших трьох днів). На пальцях перемножуватимемо числа від шести до дев'яти.
Пронумеруйте пальці обох рук: великі – 5, вказівні – 6, середні – 7, безіменні – 8, мізинці – 9. Для початку можна написати цифри на нігтях фломастером. Покладіть руки перед собою на стіл долонею вниз - і "аналоговий комп'ютер" готовий! Скажімо, множимо 7*8: зведіть палець номер 7 на лівій руці і палець номер 8 на правій, покладіть ці пальці вздовж краю. Звисаючі пальці (2 на лівій руці та 3 на правій) вважаємо десятками - 50.
Пальці на столі перемножуємо: 3 з лівої руки помножити на 2 з правої — виходить 6, і відповідь: 7*8=56. Ще приклад: 9*8. Торкаємось пальцями номер 9 на лівій та номер 8 на правій руках. Перед пальцями, що торкаються, залишилося 7 пальців (4 на лівій, 3 на правій) — це 70. Інші перемножуємо: 1 на лівій на 2 на правій — виходить 2, і відповідь — 72. Тобто пальці перед двома, що стосуються, завжди вважаємо десятками, а решту перемножуємо ліву руку на праву. Після третього-четвертого множення виходить дуже швидко і вправно.
Завдання 7. Чому цей трюк працює? Ми знаємо три різні докази — а може, вам вдасться знайти не лише їх, а й іншідокази?
Давайте тепер перефарбуємо клітини з результатами, які ми можемо видобути з останнього трюку, у світлий оранжевий колір. Ось це так! Зубрити нічого і не залишилося — вся та зафарбована! Це означає, що ми нарешті вивчили таблицю множення.