Як виникло інтегральне обчислення походження термінів та позначень
Як виникло інтегральне обчислення
Походження термінів та позначень
Історія поняття інтеграла тісно пов'язана із завданнями знаходження квадратур. Завданнями про квадратуру тієї чи іншої плоскої постаті математики Стародавню Грецію та Риму називали завдання, які ми зараз відносимо до завдань на обчислення площ. Латинське слово quadrаturа перекладається як «надання квадратної форми». Необхідність у спеціальному терміні пояснюється лише тим, що у античний час (і пізніше, аж до XVIII століття) ще були досить розвинені звичні нам уявлення про дійсних числах. Математики оперували з їх геометричними аналогами чи скалярними величинами, які не можна перемножувати. Тому й завдання перебування площ доводилося формулювати, наприклад, так: «Побудувати квадрат, рівновеликий даному колу». (Ця класична задача «про квадратуру кола» не може, як відомо, бути вирішена за допомогою циркуля та лінійки.)
Символ
У ході листування І. Бернуллі та Г. Лейбніц погодилися з пропозицією Я. Бернуллі. Тоді ж, в 1696 р., з'явилася і назва нової гілки математики - інтегральне обчислення (саlсulus integrаlis), яке ввів І. Бернуллі.
Інші відомі вам терміни, які стосуютьсяінтегрального обчислення, з'явилися помітно пізніше. Назва, що вживається зараз,первоподібна функціязамінила більш рання «примітивна функція», яку ввів Лагранж (1797 р.). Латинське слово ргimitivus перекладається як «початковий»:
У сучасній літературі безліч всіх первісних для функції f(х) називається також невизначеним інтегралом. Це поняття виділив Лейбніц, який помітив, що всі первісні функції відрізняються на довільну постійну. А
(Позначення ввів К. Фур'є (1768-1830), але межі інтегрування вказував вже Ейлер).
З історії інтегрального обчислення.
Багато значних досягнень математиків Стародавньої Греції у вирішенні завдань на знаходженняквадратур(тобто обчислення площ) плоских фігур, а такожкубатур(обчислення обсягів) тіл пов'язані із застосуваннямметоду вичерпування, запропонованим Євдоксом Кнідським (бл. 408 - бл. 355 до н. Е..). За допомогою цього методу Евдокс довів, наприклад, що площі двох кіл відносяться як квадрати їх діаметрів, а об'єм конуса дорівнює обсягу циліндра, що має такі ж підставу і висоту.
Архімед(бл. 287-212 до н. е.) -великий вчений. Першовідкривач багатьох фактів та методів математики та механіки,блискучий інженер. Глибокі та дотепніідеї Архімеда, пов'язані з обчисленнямплощ та обсягів, вирішенням завданьмеханіки, по суті, передбачають відкриття математичного аналізу, зроблене майже через 2000 років. 4>
Метод Євдокса було вдосконалено Архімедом. З цією модифікацією визнайомі: висновок формули площі кола, запропонований у курсі геометрії, ґрунтується на ідеях Архімеда. Нагадаємо основні етапи, що характеризують метод Архімеда:
1) доводиться, що площа кола менша за площу будь-якого описаного біля нього правильного багатокутника, але більша за площу будь-якого вписаного;
2) доводиться, що з необмеженому подвоєння числа сторін різниця площ цих багатокутників прагне нулю; 3) для обчислення площі кола залишається знайти значення, якого прагне відношення площі правильного багатокутника при необмеженому подвоєнні числа його сторін.
За допомогою методу вичерпування, цілої низки інших дотепних міркувань (у тому числі із залученням моделей механіки) Архімед вирішив багато завдань. Він дав оцінку числа
Архімед передбачив багато ідей інтегрального обчислення. (Додамо, що й перші теореми про межах були доведені им.) Але знадобилося понад півтори тисячі років, як ці ідеї знайшли чітке вираження і було доведено рівня обчислення.