Класичне визначення ймовірності
Класичне визначення імовірності.
1. Колода з 32-х карток ретельно перетасована. Знайти ймовірність того, що всі чотири тузи лежать у колоді один за одним, не перемежуючись іншими картами.
Рішення. Число всіх можливих способів розташування карт у колоді дорівнює 32! Щоб підрахувати число сприятливих результатів, спочатку уявімо собі, що чотири тузи розташовуються якимось чином один за одним і склеюються між собою так, що вони ніби складають одну карту (неважливо, що вона виявилася товщою, ніж усі інші). В отриманій колоді стало 32 - 4 + 1 = 29 карт. Карти в цій колоді можна розташувати числом способів, що дорівнює 29! Кількість всіх сприятливих наслідків виходить, якщо це число помножити на 4! - Число можливих способів упорядкування чотирьох тузів. Звідси отримуємо відповідь задачи: .
2. Між двома гравцями проводитьсяnпартій, причому кожна партія закінчується або виграшем, або програшем, і всілякі результати партій рівноймовірні. Знайти ймовірність того, що певний гравець виграє рівноmпартій, 0 mn.
Рішення. Кожна партія має два результати – виграш одного чи іншого учасника. Для двох партій є 2 2 = 4 результатів, для трьох партій - 2 3 = 8 результатів, для партій - 8 n результатів. Серед них рівно результатів відповідають виграшу одного з гравців партій. Таким чином, ймовірність, що шукається, дорівнює .
3. Впадаєnгральних кісток. Знайти ймовірність того, що на всіх кістках випала однакова кількість очок.
Рішення. Загальна кількість результатів тут дорівнює 6n. Число сприятливих результатів - 6. Відповідь задачі:
4. У урніaбілих таbчорних куль (a2;b2). З урни без повернення витягуються 2 кулі. Знайти ймовірність того, що кулі одного кольору.
Рішення. Ця ймовірність дорівнює
5. У урні знаходятьсяaбілих таbчорних куль. Кулі без повернення витягуються з урни. Знайти ймовірність того, щоk-а вийнята куля виявилася білою.
Рішення. Представимо процес випадкового вилучення куль з урни наступним чином: кулі довільним чином розміщені розташованим в ряд осередків, і витягуються з осередків один за одним зліва направо. Тоді сприятливий результат настає у тому випадку, коли вk-й комірці лежить біла куля.
Усього можливо (a+b)! різних способів розташування куль по осередках. Займемоk-ю комірку однією з білих куль, що можна зробитиaрізними способами. Тоді решту осередків можна заповнити (a+b– 1)! способами, і виходить, що кількість сприятливих наслідків дорівнює (a+b- 1)!a, а шукана ймовірність -
6. Знайти ймовірність того, що при розміщенніnпомітних куль поNящикам заданий ящик міститиме рівноk(0 kn) куль (усі помітні розміщення рівноймовірні).
Рішення. Перший шар може бути розміщенийNрізними способами, другий шар - тежNрізними способами, а дві кулі можуть бути розміщені поNящикам числом способів, рівнимN2 . Усього існуєNnваріантів розміщенняnпомітних куль поNящикам. Вибравши певний ящик, можна знайти способів заповнити його наборомkкуль, вибраних з безлічіnкуль. Інші ящики можна заповнити кулями, що залишилисяn – kчислом способів, рівним (N–1)n–k. Таким чиномотримуємо, що число сприятливих результатів у завданні дорівнює
7. 10 букв розрізної абетки: А,А,А,Е,І,К,М,М,Т,Т довільним чином викладаються в ряд. Якою є ймовірність того, що вийде слово МАТЕМАТИКА?
Рішення. 10 літер можна розмістити у ряд числом способів, що дорівнює 10! Щоб отримати кількість сприятливих результатів, потрібно взяти слово МАТЕМАТИКА і переконатися, що його можна отримати, переставляючи місцями 3 літери А, 2 літери М і 2 літери Т, що можна зробити 3!2!2! способами Відповідь задачі: 3!2!2!/10!.
8. Кинуто 10 гральних кісток. Передбачається, що всі комбінації очок, що випали, рівноймовірні. Знайти ймовірність того, що випала хоча б одна “6”.
Рішення. Загальна кількість наслідків тут дорівнює 6 10 . До сприятливих результатів слід віднести випадання однієї, двох, трьох і т. д. шісток. Простіше підрахувати число несприятливих наслідків, тобто наслідків, коли не випало жодної шістки. Їх, очевидно, 5 10 і число сприятливих результатів дорівнює 6 10 - 5 10 . Шукана ймовірність дорівнює 1 -.
9. У мішку знаходяться 10 різних пар взуття. З мішка навмання витягуються 6 одиниць взуття. Знайти ймовірність того, що у вибірку не потрапить дві одиниці взуття, що становлять одну пару.
Рішення. Загальна кількість результатів – це кількість можливих вибірок обсягом 6 одиниць із загального числа 20 одиниць, тобто
1.а. В умовах задачі 1. підрахувати ймовірність того, що при роздачі карт по одній по колу чотирьом гравцям кожному дістанеться один туз. (0,1055, )
1.б. В умовах попереднього завдання підрахувати ймовірність того, що всі тузи дістануться одному гравцю.
1.в.nосіб розсідають у ряд у випадковому порядку. Яка ймовірність, що дві певні особи виявляться поруч? Знайти відповідну ймовірність, якщо ті самі особи сідають за круглий стіл.
2.а. Розв'яжіть задачу 2. за умови, що кожна партія закінчується або виграшем одного з учасників, або нічиєю, і всілякі результати партій є рівноймовірними.
2.б. До ліфту 8-поверхового будинку на першому поверсі увійшли 5 осіб. Припустимо, що кожен із них з рівною ймовірністю може вийти будь-якому з поверхів, починаючи з другого. Знайти ймовірність, що всі п'ятеро вийдуть на різних поверхах.
3.а. Кинуті шість гральних кісток. Знайти ймовірність наступних подій:
а) на всіх кістках випала різна кількість очок;
б) сумарна кількість очок, що випали, дорівнює 7.
3.б. Знайти ймовірність того, що серед довільно вибраних 12 осіб усі мають дні народження в різні місяці.
4.а. У разі завдання 4. знайти ймовірність те, що кулі різнокольорові.
5.а. У кишені лежать 10 ключів, з яких до замку підходить лише один, але невідомо, який. З кишені вилучаються ключі випадково один за одним і робиться спроба відкрити замок. Знайти ймовірність того, що замок буде відкрито з 7-ї спроби.
5.б. Студент Іванов при підготовці до іспиту з 30-ти квитків вивчив лише 20. Група студентів, що складають іспитскладається з 16 осіб, причому кожен по черзі бере один квиток, не повертаючи його. У якому разі студент Іванов з більшою ймовірністю складе іспит: якщо він буде в цій черзі першим або якщо він буде останнім?
5.в. Партія з 25 приладів містить один несправний прилад. З цієї партії для контролю вибрано випадково 6 приладів. Знайти ймовірність того, що несправний пристрій потрапив у вибірку.
5.г. Ящик містить 90 придатних та 10 дефектних шурупів. Якщо використовувати 10 шурупів, яка ймовірність того, що жоден з них не виявиться дефектним? Яка ймовірність того, що серед них виявиться 4 дефектні шурупи?
6.а. Уnящиках розміщуютьnкуль так, що для кожної кулі рівноможливе попадання в будь-яку ящик. Знайти ймовірність того, що жоден ящик не порожній.
6.б. Кожна зnпалиць розламується на дві частини - довгу і коротку. Потім 2nуламків об'єднуються вnпар, кожна з яких утворює нову “палку”. Знайти ймовірність того, що: а) частини будуть з'єднані в початковому порядку; б) усі довгі частини будуть з'єднані з короткими.
6.в.Для зменшення загальної кількості ігор 2nкоманд спортсменів розбиваються на дві підгрупи. Визначити ймовірність того, що дві найсильніші команди виявляться: а) у різних підгрупах; б) в одній підгрупі. Відповідь: а)n/(2n-1); б) (n-1)/(2n-1);
7.а. З букв розрізної абетки складено слово СТАТИСТИКА. Потім із цих букв випадковим чином без повернення відібрано 5 букв. Знайти ймовірність, що з відібраних літер можна скласти слово ТАКСІ. Відповідь 2/21.
8.а. Чому дорівнює ймовірність того, що два кидання трьох гральних кісток дадуть той самий результат, якщо а) кістки помітні, б) кістки невиразні.Відповідь: 1/216; 83/3888.
8.б. З 28 кісток доміно випадково вибираються дві. Знайти ймовірність того, що з них можна скласти "ланцюжок" згідно з правилами гри. Відповідь: 7/18.
8.в. Кинуто 10 гральних кісток. Знайти ймовірність подій: а) випало рівно 3 шістки; б) випало хоча б дві шістки.
9.а. Два гравці незалежним чином підкидають (кожну свою) монети. Знайти ймовірність того, що післяnпідкидань у них буде те саме число гербів. Відповідь:
Розв'язання задачі 1.а.
1-й спосіб. При перетасовуванні колоди карти в ній можна розташувати 32! у різний спосіб. Перший гравець отримає туза певної масті (наприклад, туза пік), якщо цей туз лежить у колоді на 1-му, 5-му, 9-му тощо місцях. Інакше кажучи, туз пік потрапляє до першого гравця, якщо він займає одну з восьми можливих позицій у колоді. Аналогічним чином інший туз, наприклад масті треф, дістається другому гравцю, якщо він у колоді лежить другим, шостим, десятим і т. д., тобто займає в колоді одну з восьми можливих позицій. Розмірковуючи аналогічним чином, отримуємо, що для виконання умови завдання карти в колоді повинні бути розташовані одним із 8 4 4!28! можливі способи. Звідси випливає, шукана ймовірність дорівнює
2-й спосіб. Розіб'ємо колоду на 4 частини по 8 карток у кожній. Це можна зробити числом способів, що дорівнює . Першу з цих частин за умови, що до неї потрапляє один і лише один туз, наприклад, туз пік, можна скласти числом способів, рівним . Другу частину за умови влучення в неї єдиного туза можна скласти числом способів, що дорівнює . Таким чином, розділити колоду на 4 частини, що задовольняють умові задачі, можна числом способів, що дорівнює . Звідси випливає, що шукана ймовірність дорівнює
111. Під час гри в покерз колоди в 52 карти гравцеві видається 5 карток. Яка ймовірність того, що гравець отримає комбінацію з однієї трійки (три карти однієї номінації) та однієї двійки (дві карти однієї номінації). (Така комбінація називаєтьсяfull house).
112. В умовах попереднього завдання підрахувати ймовірність отримання гравцем однієї двійки, двох двійок.
113. В умовах задачі 111 підрахувати ймовірність отримання гравцем комбінаціїstraight, тобто п'яти карт послідовної номінації, але не всіх однієї масті (наприклад, 5 треф, 6 пік, 7 треф, 8 черв'яків, 9 бубон або валет пік, дама пік, король пік, туз черв'яків, двійка треф)
; ; .