Константи інтегрування
Головне меню
Суднові двигуни
Кожен перехідний процес системи автоматичного регулювання є алгебраїчну суму ряду складових, число яких визначається порядком диференціального рівняння. Протікання у часі цих складових ( З 2 е р2 t , З 2 е р2 t та інших.) цілком визначається значенням і алгебраїчним знаком коренів (р 1 , р 2 та інших) характеристичного рівняння.
Однак для побудови результуючого перехідного процесу? = f ( t ) є сумою алгебри всіх його складових, необхідно знати не тільки характер протікання кожної зі складових, а й співвідношення між ними. Це співвідношення визначається ординатами складових у початковий момент руху (при t = 0). Загальні інтеграли (725) або (726) показують, що початковими ординатами складових є константи інтегрування 1, 2, . З k. З п. . Число констант інтегрування завжди чисельно дорівнює порядку n диференціального рівняння.
Для визначення констант інтегрування необхідно задати початкові умови, які в загальному випадку залежать від стану системи автоматичного регулювання в момент обурення та характеру самого впливу, що обурює.
Початкові умови при t = 0 записуються як сукупності значень: ? 0 - початкового відхилення; ? 0 - (d? / dt) 0 - Початкової швидкості; w 0 = (d 2? / dt 2) 0 - Початкового прискорення; z 0 = (d 3 ? / dt 3 ) 0 - швидкості зміни початкового прискорення і т. д. Таким чином, початкові умови характеризують стан системи автоматичного регулювання в момент появи впливу, що обурює.
У реальних умовах ступінчасте обурення (див. рис. 248, а) не може відбутися миттєво, оскільки це пов'язано з переміщеннями матеріальнихдеталей та вузлів. Отже, ступінчасте обурення відбувається не миттєво, а за дуже малий проміжок часу? < t < +? [24], причому? - Деяка позитивна величина. Якщо? ? 0, як це має місце при ступінчастому обуренні, то час t = 0 по суті розбивається на два моменти: t = -0 - безпосередньо перед обуренням і t = +0 - відразу після обурення. У зв'язку з цим за завдання початкових умов слід чітко розрізняти стану системи автоматичного регулювання: до обурення при t = -0 і після обурення при t = +0.
Якщо режим роботи двигуна до обурення (при t = -0) характеризується початковими умовами
то режим роботи двигуна після обурення (при ? = +0) повинен характеризуватись новими початковими умовами
Початкові умови (797) та (798) пов'язані між собою. Початкові умови (798) можна визначити, якщо відомі початкові умови (797) та диференційне рівняння системи автоматичного регулювання.
Принцип суперпозиції дає можливість у рівнянні (542) прийняти? р - 0 (незмінність налаштування регулятора) і записати його у вигляді
Нехай власний оператор системи автоматичного регулювання
Формули для підрахунку початкових умов (798) з урахуванням початкових умов (797) при ступінчастому обуренні ? д =? д0 = const для системи автоматичного регулювання з диференціальним рівнянням (609) або (612) мають вигляд [24]
При зниженні порядку оператора впливу, наприклад, до четвертого формулах (802) необхідно прийняти умову S 5 = О, при зниженні до третього порядку S 5 = 0; S 4 = 0 тощо. буд. Якщо правої частини диференціального рівняння системи автоматичного регулювання немає похідних, то підстановка умов S 5 = S 4 = . = S 1 = 0 вФормули (802) показує, що в цьому випадку початкові умови (797) при t = -0 виявляються рівними початковим умовам (798) при t = +0.
Якщо динамічні властивості системи автоматичного регулювання характеризуються диференціальним рівнянням (799) п'ятого порядку з операторами
то формули перерахунку початкових умов мають вигляд
При диференціальному рівнянні (799) четвертого порядку з операторами
формули перерахунку початкових умов мають вигляд
При диференціальному рівнянні (799) третього порядку з операторами
формули перерахунку початкових умов мають вигляд
Аналогічно можуть бути записані формули перерахунку початкових умов для диференціального рівняння
Часто система автоматичного регулювання до обурення працює в умовах рівноважного (усталеного) режиму, коли початкові умови при t = -0 виявляються нульовими:
І тут початкові умови при t = +0 визначаються простішими формулами. Наприклад, стосовно диференціального рівняння (799) з власним оператором четвертого порядку початкові умови (804) з урахуванням (806) мають вигляд
Після визначення початкових умов можна розпочати підрахунок констант інтегрування.
Нехай перехідні процеси системи автоматичного регулювання описуються, наприклад, диференціальним рівнянням третього порядку при постійному налаштуванні регулятора (? р = 0):
Якщо прийняти, що навантаження на двигун змінюється стрибком від ? д = 0 (при t = -0) до? д =? д0 = const (при t = +0), то загальний інтеграл неоднорідного диференціального рівняння (807) слід шукати як суми загального інтеграла однорідного рівняння
та приватного інтеграла неоднорідного рівняння
Для підрахунку константінтегрування потрібно знати початкові умови. Відповідно до формул (805) з урахуванням умови (806) початкові умови для аналізованої системи мають вигляд
Підстановка цих початкових умов при t = +0 загальний інтеграл (808) дає
Рішення отриманої системи рівнянь у детермінантній формі має вигляд
У формулах (810) зручно використовувати відносні константи інтегрування, значення яких визначаються лише корінням характеристичного рівняння. Після введення відносних констант інтегрування
Аналогічно можуть бути визначені константи інтегрування та при дослідженні перехідних процесів, що описуються лінійними диференціальними рівняннями вищих порядків.