Критерій існування певного інтегралу
У найпростіших випадках легко переконатися у існуванні певного інтегралу.
Наприклад, для [math]f(x) = m[/math] :
[math]\sigma(f, \tau) = \sum\limits_^ m\Delta x_k = m(b - a)[/math]
Отже, [math]\int\limits_a^b m dx = m(b - a)[/math]
Розглянемо функцію Діріхле: [math] d(x) = \ left \ < \begin1,\ & x \notin \mathbb \\ 0, \ & x \in \mathbb \\ \end \right. [/math]
Тоді можна скласти дві різні системи точок:
У одному випадку отримуємо, що [math]\int\limits_0^1 d(x) dx = 0[/math] , а іншому - [math]\int\limits_0^1 d(x) dx = 1[/math ].
Але він, за визначенням, ні залежати від обраного набору точок. Отже, функція Діріхле не є інтегрованою.
Виникає цілком логічне питання: >. Напишемо відповідь класичною мовою (Дарбу).
З огляду на те, що обмеженість функції необхідна інтегрованості, далі це обумовлюється.
Нехай встановлено обмежену функцію [math]f \colon [a; b] \to \mathbb[/math] і заданий набір точок [math]\tau : a = x_0 \lt x_1 \lt \ldots \lt x_n = b[/math]
[math]m_k(f) = m_k = \inf\limits_]> f(x)[/math] [math]M_k(f) = M_k = \sup\limits_]> f(x)[/math] [math]\underline (f, \tau) = \underline (\tau) = \sum\limits_^ m_k \Delta x_k[/math] - нижня сума Дарбу [math]\overline (f, \tau) = \overline (\tau) = \sum\limits_^ M_k \Delta x_k[/math] - верхня сума Дарбу
Тоді, очевидно, [math]\underline(\tau) \leq \sigma(\tau) \leq \overline(\tau)[/math] .
Перша властивість очевидна (з визначення сум Дарбу).
Доведемо другу властивість. Зрозуміло, що досить розглянути випадок, коли [math]\tau_1[/math] додано лише одну точку.
[math]a = x_0 \lt x_1 \lt \ldots \lt x_n = b[/math] - [math]\tau_1[/math]
[math]a = x_0 \lt x'_0 \lt x_1 \lt \ldots x_n = b[/math] - [math]\tau_2[/math]
Доведемо нерівність для нижніх сум. Позначимо [math]m_0[/math] , [math]m'_0[/math] та [math]m''_0[/math]
[math]m_0 = \inf\limits_ f(x)[/math] , [math]m'_0 = \inf\limits_ f(x)[/math] , [math]m''_0 = \inf\limits_ f(x)[/math] .
Тоді, очевидно, [math] m_0 \leq m'_0, m''_0[/math]
[math]m_0(x_1 - x_0) = m_0(x'_0 - x_0) + m_0(x_1 - x'_0) \leq m'_0(x'_0 - x_0) + m''_0(x_1 - x'_0 )[/math]
Далі всі складові будуть однакові. Отже, нерівність виконано.
Третя властивість
Покладемо [math] \tau_3 = \tau_1 \cup \tau_2[/math] . Тоді [math]\tau_3 \leq \tau_1, \tau_2[/math] .
Отже, в силу пунктів 1 і 2 отримаємо:
[math]\underline(\tau_1) \leq \underline(\tau_3) \leq \overline(\tau_3) \leq \overline(\tau_2)[/math]
Нехай [math]\omega(f, \tau) = \overline(\tau) - \underline(\tau) = \sum\limits_^ (M_k - m_k)\Delta x_k \geq 0[/math]
[math]\lim\limits_ \tau \to 0> \omega(f, \tau) = 0 \Leftrightarrow[/math] [math]\forall \varepsilon \gt 0\ \exists \delta \gt 0 : \ \operatorname \tau \lt \delta \Rightarrow \omega(f , \tau) \lt \varepsilon[/math]
Визначимо [math]\underline= \sup\limits_> \underline(\tau)[/math] , [math]\overline= \inf\limits_> \overline(\tau)[/math]
[math]I = \lim\limits_ \tau \to 0> \sigma(\tau)[/math]
1. [math] f \ in \ mathcal (a; b) [/ math]
[math]\exists I = \lim \sigma(\tau)[/math]
[math]\forall \varepsilon \gt 0\ \exists \delta \geq 0 : operatorname \tau \lt \delta \Rightarrow I - \varepsilon \leq \sigma(\tau) \leq I + \varepsilon[/ math]
Це правильно для будь-якої системи проміжних точок.
У інтегральній сумі [math]\Delta x_k \gt0[/math] . Звідси випливає, що якщо варіювати проміжні точки, і по них перейти до [math]\inf[/math] і [math]\sup[/math] , то [math]\inf = \underline[/math] , [math ]\sup = \overline[/math] .
Так як написана нерівність виконується для будь-якої системи точок, то через визначення граней, ми можемо отримати, що
[math]I - \varepsilon \leq \underline(\tau) \leq \overline(\tau) \leq I + \varepsilon \Rightarrow[/math] [math]\omega(f, \tau) \leq 2\ varepsilon[/math]
[math]\varepsilon \to 0 \Rightarrow \lim\limits_ \tau \to 0> \omega(f, \tau) = 0[/math]
2. [math]\lim\limits_ \tau \to 0> \omega(f, \tau) = 0[/math]
Скористаємося нерівностями, написаними перед теоремою разом із числами [math]\overline[/math] і [math]\underline[/math] . (що хотіли сказати фразою >?)
[math]0 \leq \overline- \underline\leq \omega(f, \tau)[/math]
Але, оскільки [math]\omega(f, \tau) \to 0[/math] , [math]\overline= \underline= I[/math]
[math]\underline(\tau) \leq I,\ \sigma(\tau) \leq \overline(\tau)[/math]
[math]\sigma(\tau) - I \leq \omega(f, \tau) \to 0[/math]
Тоді, за принципом стиснутої змінної, [math]I = \sigma(\tau)[/math]
Отже, шуканий інтеграл [math]\int\limits_a^b f(x) = I[/math] існує.
Наведемо важливий приклад застосування цієї теореми.
Повернемося до функції Діріхлі.
[math] d(x) = \left\ < \begin1,\ & x \notin \mathbb \\ 0, \ & x \in \mathbb \\ \end \right. [/math]
Ця функція не інтегрована. Погана вона у тому сенсі, що вона розривна у кожній точці.
Зараз ми цю функцію трохи змінимо. Точка розриву у нової функції буде все ще нескінченно багато, але домінувати вже будуть точки безперервності набудь-якому відрізку. Це призведе до того, що функція стане інтегрованою, хоча на будь-якому її кінцевому відрізку безліч її точок розриву буде всюди щільним, і її графік все ще не намалюватиме.
[math] r(x) = \left\ < \begin1,\ & x \notin \mathbb \\ 1 - \frac1n,\ & x \in \mathbb, x = \frac\\end\right. [/math]
Вочевидь, що у будь-якому кінцевому відрізку є лише кінцеве число нескоротних дробів з наперед заданим знаменником. Звідси випливає, що функція Рімана в кожній (якесь каламутне місце) ірраціональній точці безперервна, а в кожній раціональній — розривна (/каламутне місце). Покажемо, що є [math]\int\limits_0^1 r(x)[/math] . Для цього випишемо [math]\omega[/math] .
[math]\omega(r, \tau) = \sum\limits_^(M_k - m_k) \Delta x[/math] . Потрібно показати, що це прагне нуля.
Якщо ми доведемо, що ця функція інтегрована (що якраз рівносильне прагненню останнього до нуля), то питання її обчислення стане тривіальним, бо якщо інтеграційна сума має межу, то вона не залежить від [math]\tau[/math] .
Це дозволяє вибирати проміжні точки таким чином, щоб межа сум вважалася легко. Будемо складати інтегральні суми, вибираючи як проміжні точки ірраціональні числа. Тоді відповідна інтегральна сума виявиться рівною
[math]\int\limits_0^1 r(x) = \sum\limits_^ x_ - x_k = 1[/math]
Тому вся труднощі полягає у доказі існування інтеграла.
Зазвичай існування інтеграла через [math]\omega[/math] доводиться наступним чином: сума, що цікавить, розбивається на дві, таким чином, щоб у першій сумі [math]M_k - m_k[/math] було мало, але [math]\sum \ Delta x_k \approx b - a[/math]. У другій сумі треба, щоб [math] \ sum \ Delta x [/ math] булодосить малим (ці [math] \ Delta x [/ math] - погані). Тоді сума обох сум виявиться малою, і завдання буде вирішено.
Нехай [math]\varepsilon \gt 0[/math] . Тоді [math]\exists N_\varepsilon:\ \frac1 \leq \varepsilon[/math]
[math] [x_k; x_],\ M_k = 1[/math] (оскільки у відрізку є ірраціональні числа).
Розберемося з [math] m_k [/ math]. Його пошук пов'язані з перебором чисел виду [math]1 - \frac1n[/math] і пошуком мінімуму їх, у своїй, [math]\frac \in [x_k; x_][/math] .
[math]m_k = 1 - \frac1[/math] , де [math]P_k[/math] - найменший з тих знаменників, для яких відповідний раціональний дріб міститься в поточному відрізку. Тоді [math] M_k - m_k = \ frac1 [/ math].
У відрізку [math] [0; 1][/math] дробів зі знаменником меншим [math]N_\varepsilon[/math] кінцеве число. Тоді звідси зрозуміло, що й розглянути [math]\tau[/math] досить малого рангу, то сума довжин тих відрізків, у яких містяться нескоротні дроби [math]\frac[/math] буде досить малим і за [math]\operatorname \tau \to 0[/math] сума ставатиме мегше і менше. Що стосується інших проміжних відрізків, то через формулу [math]M_k - m_k = \frac1[/math] , [math]P_k \gt N_varepsilon[/math] , [math]M_k - m_k \lt \frac1 \leq \varepsilon[/math] .
Але сума цих відрізків не перевищить одиниці.
Оцінимо зверху [math]I[/math] :
[math]\omega(r, \tau) \leq \varepsilon + N_\varepsilon^2 \operatorname \tau[/math] .
Тоді при [math]\delta = \frac\varepsilon[/math] :
[math]\omega(r,\tau) \leq \varepsilon + \varepsilon[/math]
[math]\forall\varepsilon[/math] ми знайшли [math]\delta[/math] таке, що [math]\operatorname \tau \delta \Rightarrow \omega(r, \tau) \leq 2\varepsilon[ /math]
Для того, щоб здопомогою цієї теореми можна було будувати звані класи інтегрованих функцій і отримувати додаткові властивості інтегралів, визначимо поняття > на відрізку і виведемо для цієї величини одну важливу властивість.
Тоді коливанням обмеженої функції на відрізку [math][c;d][/math] назвемо
[math]\omega(f, [c; d]) = \sup\limits_ f(x_2) - f(x_1)[/math]