Куди рухається математика
Несуперечність арифметики
У цьому розділі йтиметься про величезне значення того факту, що докази простих висловлювань можуть мати неймовірну довжину. Гедель нас навчив, що довести внутрішню несуперечність арфметики Пеано неможливо, проте всі вважають елементарну арифметику несуперечливоюde factoі як ні в чому не бувало нею користуються.
Платонівські настрої, що панують серед математиків, просто не дають їм засумніватися в безгрішності арифметики Пеано. Після Кронекером багато хто вважає, що натуральні числа відкриті їм шляхом прямого прозріння і, отже, існують. А якщо натуральні числа існують і підпорядковуються аксіомам Пеано, то аксіоматика Пеано є даністю, і її треба вважати апріорі несуперечливою. При цьому часто посилаються на очікувані або плановані покращені моделі аксіом Пеано, проте очікування і задуми самі по собі нічого не вирішують.
Якщо ми звернемося до історії, ми побачимо безліч прикладів загальної впевненості у помилкових постулатах, включаючи математичні. Повіками евклідова геометрія вважалася адекватно описує властивості простору, поки Ріман, а потім Ейнштейн не довели протилежне. Статус аксіоми вибору, або аксіоми Цермело, сьогодні ні в кого сумнівів не викликає, хоча на початку XX століття її прийнятність була предметом бурхливих суперечок. Сам Цермело з часом визнав, що головна причина для прийняття аксіоми вибору — те, що без неї математики не змогли б довести цілу низку результатів, необхідних їм у роботі; див. [19, с. 56]. І всі ці сумніви аж ніяк не дозволені — вони просто забуті більшістю наукової спільноти. Зрештою, зазначимо, що впевненість Гільберта у можливості позитивного вирішення всіх без винятку математичних завдань.поділялася переважною більшістю його сучасників і була похитнута лише Ґеделем.
Адже логічно не виключена можливість того, що арифметика Пеано внутрішньо суперечлива. Жодних свідчень на користь цього немає, і я зовсім не стверджую, що ймовірність цього висока — і все ж таки така можливість зберігається. Щоб розібратися з цим, розглянемо приклад із теорії груп. Візьмемо наступний набір аксіом:
(1) Існує безліч елементівG, що підпорядковується аксіом групи.
(2) ГрупаGкінцева, але не ізоморфна жодною з відомих простих кінцевих груп.
(3) ГрупаG- проста. Іншими словами, якщоN— підмножинаGз певним набором властивостей (із властивостями нормальної невиродженої підгрупи), тоN=G.
Ці аксіоми можна порівняти із арифметикою Пеано. Третя аксіома аналогічна формою аксіомі індукції (чи схемою аксіом у логіці першого порядку) у цьому плані, що, взявши довільний об'єкт із певними властивостями, вона визнає його рівнимG(при цьому ми допускаємо вільний перехід туди й назад між підмножинами та предикатами). Хоча ми вважаємо групуGкінцевої, її розмір не заданий, і отже не можна просто перерахувати всі об'єкти цього, навіть якщо це буде відведено нескінченно багато часу. Єдиний спосіб зрозуміти роботу цієї системи аксіом через докази на її основі.
Той факт, що аксіоматика, така близька до арифметики Пеано, може вимагати такого довгого доказу своєї суперечливості (якщо вона дійсно суперечлива, як вважають багато фахівців з теорії груп), змушує засумніватися і в несуперечності самої арифметики Пеано. Найкоротший доказ суперечливості аксіом Пеано може позичати мільярдсторінок, і ми його ніколи не побачимо. А якщо ми ніколи не зіткнемося з суперечністю, то яка нам різниця, суперечлива аксіоматика чи ні? Ми можемо й надалі доводити теореми та розкривати цікаві взаємозв'язки між поняттями, навіть не підозрюючи про жахливу істину!
Така ситуація аж ніяк не означає, що всі наші зусилля марні. Є безліч прикладів у минулому, коли виявлені протиріччя системах аксіом чи неточності у доказах теорем успішно усувалися. У знаменитій книзі Імре Лакатоша наводиться приклад чудової здатності математиків реагувати на контрприклади, коли щоразу виправлялися помилки у формулюванні теореми Ейлера [17]. Найвідоміша суперечність була виявлена у формулюванні, наведеному в «Основах математики» Фреге, для якого знайшов парадокс Бертран Рассел. Двадцять років знадобилося усунення цієї проблеми шляхом залучення аксіоматики теорії множин та аксіоми вибору; при цьому формулювання теореми втратило свою початкову витонченість. Цікаві математичні знахідки (в математичному аналізі, принаймні) зазвичай дуже живучі, терпимі до змін в аксіоматиці та виліковні від технічних помилок у доказах, хоча іноді й вимагають розширення та уточнення умов теореми.