Квадратурна фільтрація - Студопедія
Частотний підхід до вейвлет-перетворень
Частотний підхід та швидке вейвлет-перетворення
Тріумфальний прогрес використання вейвлетів у величезному спектрі додатків пов'язаний насамперед із «швидкими алгоритмами» (швидке вейвлет-перетворення – БВП), які у свою чергу виходять в результаті ретельного вибору первинного вейвлета.
Для роботи з обробки та подання реальних сигналів необхідно використовувати апарат частотної фільтрації та методи швидкого вейвлет-перетворення. Вони засновані на пірамідальному алгоритмі Малла та проріджуванні спектру за частотою.
Частотна область вейвлетів може бути розбита на дві складові - низькочастотну та високочастотну. Їх частота розділу дорівнює половині частоти дискретизації сигналу. Для їхнього поділу достатньо використовувати два фільтри - низькочастотні Lo і високочастотний Hi, до входів яких підключається сигналs. Фільтр Lo дає частотний образ для апроксимації (грубого наближення) сигналу, фільтр Hi - для деталізації. Вейвлет коефіцієнти відповідають коефіцієнтам передавальної характеристики цих фільтрів, тобто. Коефіцієнти фільтрів Lo і Hi є деталізуючі коефіцієнти вейвлет-декомпозиції сигналів та їх коефіцієнти апроксимації.
Оскільки фільтри передають лише половину всіх частотних компонентів сигналу, то не всі компоненти, що потрапили в смугу прозорості, можуть бути видалені. Це називається операцією децимації вдвічі та позначається як ↓2. Якщо скласти отримані на виходах фільтрів сигнали, вийде вихідний сигнал, тобто. має місце повна реконструкція сигналу початковому рівні реконструкції.
Однак L0 фільтр можна розкласти на два фільтри і піддати спектри цих нових фільтрівоперації проріджування за частотою - децимації. Це означає зміну рівня реконструкції. Тобто. може бути сформована система вейвлет-фільтрів, що реалізують операцію декомпозиції сигналу тієї чи іншої рівня.
Подібні операції скорочують спектр відповідних компонентів сигналу, що є основою наближеного представлення сигналу різних рівнях декомпозиції сигналу. Таке уявлення необхідне реалізації операцій стиснення сигналів та його відчистки від шуму. Операцію послідовної розбивки L0 фільтрів та поступового огрублення сигналу було запропоновано Маллом.
Кожен ортогональний вейвлет має свій Фур'є-образ ψ(ω), який можна уявити реалізацією двох фільтрів – низькочастотногоH(ω) та узгодженого з ним високочастотного фільтра:
G(ω) = . (10)
При цьому Фур'є-образ вейвлета має вигляд:
Зазвичай фільтри мають тип ФНЧ із імпульсною характеристикою класу КІХ.
Кратномасштабний аналіз ґрунтується на двох добре відомих методах обробки сигналів, запозичених з теорії фільтрації сигналів:
● розкладання сигналу за піддіапазонами за допомогою квадратурних дзеркальних фільтрів;
Перший метод виник із потреб обробки звукових сигналів, а другий - з обробки сигналів зображення.
Нехай є певний узагальнений сигнал як послідовності чисел . Для згладжування сигналу, придушення шуму часто використовують фільтри, що базуються на операціїзгортки:
. (12)
Сигнал виходить «локальним усереднення» сигналуxза допомогою набору «ваг» . Використовуючи поняття частотного аналізу можна записати:
, (13)
або що прийнято в аналізі цифрових сигналів, термінах z-перетворення
. (14)
Транспонований фільтр h* складається зтих самих коефіцієнтів, як і фільтрh, але переставлених у порядку. У частотній ділянці транспонований фільтр записується як . Коефіцієнти всіх сигналів та фільтрів передбачаються речовими. Величина характеризує розподіл енергії сигналу за частотами.
Для поставленої задачі знаходимо два фільтри, які дозволили б розкласти сигнал на два частотні компоненти - високочастотний і низькочастотний, їх прорідити, потім за допомогою транспонованих фільтрів, точно відновити за цими даними вихідний сигнал. Що стосується обмеженого діапазону сигналу розумно зробити лінії пропускання фільтрів рівними половині загальної лінії частот діапазону сигналу, тобто. гранична частота фільтрів повинна дорівнювати половині частоти квантування сигналів.
Нехай тепер векторY(z) перед кодуванням проріджується вдвічі, а перед відновленням вихідного сигналу доводиться до вихідної довжини вставкою нулів між сусідніми значеннями його елементів. При цьому z-перетворення зY(z) перетворюється на (Y(z)+Y( -z))/2. Отримаємо z-перетворення компонентів перед відновленням:
z-перетворення транспонованих фільтрів мають вигляд і .Сигнал відновиться з їх допомогою точно, якщо :
Тоді умовиточного відновлення(perfect reconstruction, PR) будуть мати вигляд:
У матричній формі вони записуються:
Підставимо, отримаємо умови на ДПФ шуканих фільтрів:
(15)
(16)
(17)
(18)
видно, що виконується (15).
ФільтриHіG(абоL), що задовольняють (15) називаютьсяквадратурними дзеркальними фільтрами– КЗФ. Поняття про них широко використовується і в техніці вейвлет-перетворень і становить основу швидкого вейвлет-перетворення (БВП).
Для ряду типів вейвлетів частотне уявлення відкриває можливості використання швидкого вейвлет-перетворення, виробляючи поділки спектру на дві складові та проріджування їх за частотою. Його послідовне застосування і є, пірамідальний алгоритм Малла, що дає наближення сигналу з зменшенням при віддаленні від вершини дерева детальністю подання сигналу.
Чи не знайшли те, що шукали? Скористайтеся пошуком:
Вимкніть adBlock! і оновіть сторінку (F5)дуже потрібно