Квантилі розподілу Колмогорова
Якщо обчислене значення менше табличного1-p, то гіпотеза про збіг теоретичного закону розподілу F(y) з вибірковим Fn(y) не відкидається. Пригіпотеза відхиляється (або вважається сумнівною). Рівень значущості при застосуванні критерію Колмогорова вибирають зазвичай рівним 0,20,3. Критерій Колмогорова може бути застосований також для перевірки гіпотези про те, чи належать дві вибірки обсягів n1іn2 однієї генеральної сукупності. При цьому величина
Для нормального розподілу функція F(y) визначається за формулою
У разі вибірок невеликого об'єму nхвузлів, кожен з яких може будь-якої миті часу відмовити, після чого миттєво починається ремонт вузла.
Можливі стани системи можна перерахувати:
S0-обидва вузла справні,
S1- перший вузол ремонтується, другий справний,
S2 - другий вузол ремонтується, перший справний,
S3-обидва вузли ремонтуються.
При аналізі випадкових процесів із дискретними станами зручно користуватисягеометричною схемою–графом станів. Стан системи зображуються прямокутниками або колами, а можливі переходи зі стану - стрілками, що з'єднують стани. Для розглянутого прикладу граф станів матиме вигляд:
2.Приклади в галузі біології: а) динаміка сонно-бодрого поведінки. У найпростішому випадку можна чітко ідентифікувати 3 стани:
неспання (Б), повільнохвильовий сон (М) та парадоксальний сон (ПС). Граф станів:
б) динаміка розвитку (прямого та зворотного) патологічного процесу. Це стосуєтьсянасамперед функціональної перебудови різних підсистем на межі норми та патології (зміна тиску крові та інших параметрів). Такі зміни можна спостерігати в екстремальних умовах.
Вочевидь, що у таких системах дискретність процесу дуже умовна. Необхідно, щоб тривалість перехідного процесу була істотно меншою за тривалість періоду перебування в станах.
Якщо можна скласти граф станів та провести експерименти чи спостереження за системою, то для марківського процесу можна побудувати досить просту математичну модель. Але перед цим важливо ознайомитись із важливим поняттям теорії ймовірностей – поняттям “потоку подій”.
Потік подій- це послідовність однорідних подій, що йдуть одна за одною в якісь випадкові моменти часу. Наприклад, потік збоїв у роботі блоку або підсистеми організму, послідовність надходження пацієнтів, будь-яких зовнішніх впливів на біооб'єкт, потік частинок, що потрапляють на лічильник Гейгера і т. п. У такому разі перехід системи з сост. в. с. сост. здійснюється під впливом потоків подій.
Важливою характеристикою потоку подій є йогоінтенсивність.
а) середня кількість подій, що припадає на одиницю часу;
б) величина, зворотна порівн. часу знаходження системи у цьому стані.
Наприклад: Перехід системи зі стану до стану відбувається під дією потоку подій.
Необхідно знайти яка інтенсивність потоків зі стану S1:
;
;
Розглянемо стаціонарні потоки. Якщо ймовірність попадання події на ділянку часу t залежить тількивід довжини цієї ділянки, це називаєтьсястаціонарним потоком. У такому разі для такого потоку ймовірність попадання події на елементарну (малу) ділянку часу t дорівнює:
Якщо врахувати, що:
Для найпростішого потоку ймовірність попадання події на елементарну (малу) ділянку часу t дорівнює:
Розглядаючи марківські процеси з дискретними станами і безперервним часом, зручно буде уявити собі, що всі переходи системи S зі стану в стан відбуваються під дією якихось потоків подій (потік збоїв, потік відновлень, потік появи Sg-го стану і т. п.). Якщо система перебуває в стані Si, з якого є безпосередній перехід в інший стан Sj (стрілка, що веде з Siв Sj), то ми це уявлятимемо так, ніби на систему діє
потік подій, що переводить її за стрілкою Si-Sj. Для наочності зручно на графі станів у кожної стрілки проставляти інтенсивність потоку, який переводить її зі стану SiвSj. Повернемося до наведеного вище прикладу з відмовими блоків системи:
Знайдемо всі інтенсивності потоків подій, що переводять систему зі стану на стан. Нехай система знаходиться в стані S0 (обидва вузли справні). Розглянемо який потік переводить її в стан S1. Очевидно, потік відмов першого вузла. Його інтенсивність дорівнює одиниці, поділеній на середній час безвідмовної роботи першого вузла. Потік подій, що переводить систему назад із S1вS0, це потік«закінчень ремонтів»першого вузла. Його інтенсивність дорівнює одиниці, поділеній на середній час ремонту першого вузла. Аналогічно обчислюються інтенсивності потоків подій відповідно до інших переходів.
Маючи у своєму розпорядженні розмічений граф станів системи,легко побудуватиматематичну модель даного процесу, тобто можна знайти всі ймовірності станів pi(t) як функції часу. Для цього складаються і вирішуються так звані рівняння Колмогорова - диференціальні рівняння, в яких невідомими функціями є ймовірності станів. Розглянемо з прикладу, як ці рівняння складаються:
- ймовірність того, що система знаходилася в стані S0і за часt не перейшла (залишилася) в інший стан.
- це ймовірність переходу за t з S0 в S1 або S2. - ймовірність того, що система знаходилася в стані S1 і за час t перейшла в S0.
p- ймовірність того, що система знаходилася в стані S2 і за час t перейшла в S0.