Лагранжіан - визначення слова
Лагранжіан, функція Лагранжа динамічної системи, названа на честь Жозефа Лагранжа, є функцією динамічних змінних і визначає рівняння руху системи. Рівняння руху у цьому підході виходять із принципу найменшої дії, що записується як
де дія - функціонал
позначає безліч параметрів системи.
Рівняння руху, отримані за допомогою похідної функціональної, ідентичні звичайним рівнянням Ейлера-Лагранжа. Динамічні системи, чиї рівняння руху можуть бути отримані за допомогою найменшого дії для зручно обраної функції Лагранжа, відомі як лагранжеві динамічні системи . Прикладів лагранжових динамічних систем багато, починаючи з класичної версії Стандартної Моделі у фізиці елементарних частинок і закінчуючи рівняннями Ньютона у класичній механіці. Також до них відносяться суто математичні проблеми, такі як геодезичні рівняння і проблема Плато. Приклад із класичної механіки Поняття функції Лагранжа було спочатку введено для переформулювання класичної механіки у вигляді, відомому як лагранжева механіка. У цьому контексті функція Лагранжа зазвичай береться у вигляді різниці кінетичної та потенційної енергії механічної системи.
Нехай розмірність простору дорівнює трьом і функція Лагранжа записана у вигляді
де похідна за часом позначається точкою над величиною, що диференціюється, — радіус-вектор частки, m — її маса і V — потенційна енергія. Тоді рівняння Ейлера-Лагранжа буде: де - градієнт.
Використовуючи цей результат, можна легко показати, що цей підхід еквівалентний підходу Ньютона. Запишемо силу F в термінах потенціалу, тоді ми отримаємо рівняння, яке аналогічне до рівняння Ньютона з постійною масою. Простіобчислення приведуть нас до виразу, який є другим законом Ньютона у його узагальненій формі.
Для тривимірної системи зі сферичними координатами r, , з лагранжіаном
можна отримати такі рівняння Ейлера-Лагранжа: Лагранжіани і щільності лагранжіанів у теорії поля У теорії поля зроблено різницю між лагранжіаном L, дія якого задається інтегралом за часом
і щільністю лагранжіана, яку потрібно інтегрувати по всьому фазовому простору:
Тоді лагранжіан - це інтеграл за просторовими змінними від щільності лагранжіана. Однак останнім часом щільність лагранжіану часто називають просто лагранжіаном; це корисно в релятивістських теоріях, оскільки він визначений локально. Обидва визначення лагранжіана можна отримати у спеціальних випадках загального визначення, що залежать від того, включені просторові змінні в індекс i або параметри s в . Квантові теорії поля у фізиці елементарних частинок, такі як квантова електродинаміка, зазвичай описуються у термінах . Ця форма зручна, тому що швидко переводиться в правила, які використовуються для оцінки діаграм Фейнмана. Електромагнітний лагранжіан У загальному випадку лагранжіан у лагранжевій механіці дорівнює
де T - кінетична енергія і V - потенційна енергія. Для зарядженої частинки з масою m, зарядом q і швидкістю v, що знаходиться в електромагнітному полі зі скалярним потенціалом і векторним потенціалом A, кінетична енергія задається виразом
а потенційна енергія:
де c - Швидкість світла. Тоді електромагнітний лагранжіан запишеться у вигляді Лагранжіан квантової теорії поля Лагранжіан квантової електродинаміки
Щільність лагранжіану для КЕД
де - біспінор, - його дираківське сполучення, F - тензорелектромагнітного поля, D - калібрувальна коваріантна похідна, - позначення Фейнмана для D . Лагранжіан Дірака
Щільність лагранжіана для дираківського поля Лагранжіан квантової хромодинаміки
Щільність лагранжіана для квантової хромодинаміки [1] [2] [3]
де D - калібрувальна коваріантна похідна КХД, і F - тензор напруженості глюонного поля.