Лекції-3(4с - Стор 2

Іншими характеристиками варіаційного ряду є:

-медіанате- варіанти, яка ділить варіаційний ряд на дві частини, рівні за кількістю варіант. Якщо число варіант непарне (n=2k+ 1), тоme=xk+1, а при парномуn=2k

. Зокрема, у прикладі 1

Оцінки початкових та центральних моментів (так звані емпіричні моменти) визначаються аналогічно відповідним теоретичним моментам:

- початковим емпіричним моментом порядкуkназивається

. (16.5)

Зокрема,

, тобто початковий емпіричний момент першого порядку дорівнює вибірковому середньому.

-центральним емпіричним моментом порядкуkназивається

. (16.6)

Зокрема,

, тобто центральний емпіричний момент другого порядку дорівнює вибірковій дисперсії.

Статистичний опис та обчислення характеристик

двовимірного випадкового вектора.

При статистичному дослідженні двовимірних випадкових величин основним завданням зазвичай є виявлення зв'язку між складовими.

Двовимірна вибірка являє собою набір значень випадкового вектора: (х1,у1), (х2,у2), … , (хп, уп). Для неї можна визначити вибіркові середні складові:

і відповідні вибіркові дисперсії та середні квадратичні відхилення. Крім того, можна обчислитиумовні середні:- середнє арифметичне спостерігалися значеньY, відповіднихХ = х, і- середнє значення значень, що спостерігалисяХ,відповіднихY=y.

Якщо існує залежність між складовими двовимірної випадкової величини, вона може мати різний вигляд: функціональна залежність, якщо кожному можливому значеннюХвідповідає одне значенняY, і статистична, при якій зміна однієї величини призводить до зміни розподілу іншої. Якщо у результаті зміни однієї величини змінюється середнє значення інший, то статистичну залежність з-поміж них називають кореляційної.

Основні властивості статистичних характеристик параметрів розподілу: незміщеність, спроможність, ефективність. Незміщеність та спроможність вибіркового середнього як оцінки математичного очікування. Зміщення вибіркової дисперсії. Приклад незміщеної оцінки дисперсії. Асимптотично незміщені оцінки. Способи побудови оцінок: метод найбільшої правдоподібності, метод моментів, метод квантили, метод найменших квадратів, байєсівський підхід до отримання оцінок.

Отримавши статистичні оцінки параметрів розподілу (вибіркове середнє, вибіркову дисперсію і т.д.), потрібно переконатися, що вони достатньою мірою служать наближенням відповідних характеристик генеральної сукупності. Визначимо вимоги, які мають виконуватися.

Нехай Θ* - статистична оцінка невідомого параметра Θ теоретичного розподілу. Вилучимо з генеральної сукупності кілька вибірок одного й того ж обсягупі обчислимо для кожної з них оцінку параметра Θ:

Тоді оцінку Θ* можна розглядати як випадкову величину, яка приймає можливі значенняЯкщо математичне очікування Θ* не дорівнює оцінюваному параметру, ми отримуватимемо при обчисленні оцінок систематичні помилки одного знака (з надлишком, якщоМ(Θ*) >Θ, і з недоліком, якщоМ(Θ*) 0 характеризуєточність оцінки( чим менше δ, тим точніше оцінка). Але статистичні методи дозволяють говорити лише про те, що ця нерівність виконується з певною ймовірністю.

Визначення 18.1.Надійністю (довірчою ймовірністю)оцінки Θ* параметра Θ називається ймовірність γ того, що виконується нерівність Θ* - Θ 1, то з урахуванням умови σ > 0 довірчий інтервал для σ матиме межі

. (18.5)

Нехайп= 20,s= 1,3. Знайдемо довірчий інтервал для при заданій надійності γ = 0,95. З відповідної таблиці знаходимоq(n= 20,γ= 0,95) = 0,37. Отже, межі довірчого інтервалу: 1,3(1-0,37) = 0,819 та 1,3(1+0,37) = 1,781. Отже, 0,819 64

---