Лекція №4

1. Однорідність та варіація в масових явищах
2. Середні величини
3. Структурні характеристики варіаційного ряду
4. Показники варіації

1. Однорідність та варіація в масових явищах

Масові явища мають як загальними для всієї сукупності, і індивідуальними властивостями. Відмінність між індивідуальними явищами називається варіацією. Взаємодія елементів сукупності веде до обмеження варіації хоча б частини їх властивостей. Ця тенденція обумовлює застосуванням середніх величин у теорії та на практики. Заміна множини індивідуальних значень ознаки середньою величиною, що характеризує всю сукупність є узагальнююча функція середньої. При цьому варіанті можна представити наступним чином: Δxi, де xi-варіанти, з - спільність, що характеризується середніми величинами, Δxi - індивідуальність, яка характеризується показниками варіації.

Широке застосування середніх пояснюється тим, що вони мають низку позитивних властивостей, які роблять їх незамінними в аналізі явищ і суспільного життя.

2. Середні величини

Середня, будучи узагальненою характеристикою всієї статистичної сукупності, має орієнтуватися на певну величину, пов'язану з усіма одиницями цієї сукупності.

Цю величину можна як функції: F(x1,x2,x3. xn)

Якщо F(x1,x2,x3.xn) всі величини x1,x2. xn замінити їх середньою величиною *, то значення функції має залишитися тим самим:

Розкриття функції: F(x1, x2, x3. xn) призводить до побудови різних середніх, найбільш широко використовуються статечні середні види: .

Надаючи z різні значення, отримаємо різні види середніх:

Z = -1 – середня гармонійна;

Z = 0 - середня геометрична;

Z = 1 - середня арифметична;

Z = 2-середня квадратична.

Усі середні пов'язані правилом, яке називається правилом мажорантності середніх:

Xh Властивості середньої арифметичної величини.

1. Сума відхилень індивідуальних значень ознаки з його середнього значення дорівнює нулю.

2. Якщо кожне індивідуальне значення ознаки помножити або розділити на постійне число, то і середня збільшиться або зменшиться у стільки ж разів, де а - постійне число.

3. Якщо до кожного індивідуального значення ознаки додати або від кожного значення відняти постійне число, то і середня величина зросте або зменшиться на стільки ж.

4. Якщо ваги середньої виваженої помножити або розділити на постійне число, середня величина не зміниться.

- Замість абсолютних значень ваг можна використовувати частки чи відсотки.

- Якщо всі ваги рівні, то середня арифметична дорівнює середній арифметичній зваженій.

5.Сума квадратів відхилень індивідуальних значень ознаки від середньої арифметичної менше, ніж від будь-якого іншого числа.

Правила вибору середньої.

1. Середня арифметична використовується, якщо відомі чисельні значення знаменника формули, а значення чисельника може бути отримано твором.
2. Середня гармонічна використовується, якщо відомі числові значення чисельника, а значення знаменника можуть бути отримані як окремі від ділення показника.
3. Середня геометрична застосовується, якщо необхідно знайти значення ознаки, якісно рівновіддаленої від максимального та мінімального значення.
4. Середня квадратична застосовується для вимірювання варіації ознак сукупності, що обумовлено 5 властивістю середньоїарифметичній.
5. Середня хронологічна використовується, якщо дані представлені не за якийсь період, і станом на дату.

3. Структурні характеристики варіаційного ряду

Мода(Мо) являє собою значення ознаки, що вивчається, що повторюється з найбільшою частотою.

Медіана (Ме) - значення ознаки, що припадає на середину ранжованої сукупності. Головна властивість медіани: сума абсолютних відхилень значень ознаки від медіани менша, ніж від будь-якої іншої величини.

Визначення моди за згрупованими даними: спочатку знаходять номер модального інтервалу, а потім ,

де X - нижня межа модального інтервалу

I - величина модального інтервалу

- частота модального інтервалу

- частота попереднього модального інтервалу

- Частота наступного за модальним інтервалу.

Квантиль - це значення хq випадкової величини, яка задовольняє умову: F(xq) = q, де F(xq) - ймовірність того, що Х 2 разів.

Середньоквадратичне відхилення являє собою корінь другого ступеня із середнього квадрата відхилень окремих значень ознаки від їхнього середнього.

Для характеристики варіації ознак разом можна застосувати так зване квартильне відхилення. Цей показник можна застосувати замість розмаху варіації, щоб уникнути недоліків, пов'язаних з використанням крайніх значень.

Поряд із абсолютними показниками існують і відносні, які отримують з абсолютних шляхом поділу на .

---