Лекція Просторові криві

2.4 СУПРОВІДНИЙ ТРИГРАННИК КРИВИЙ.

Розглянемо криву у натуральній параметризації:

Г:

на околиці точки. Тут і далі у дужках наводяться відповідні формули довільного параметра. Поряд з точкою Морозглянемо ще дві сусідні точки М1 і М2. Вище ми вводили поняття щодо, як граничне положення сіючої МоМ1при М1®Мо. Нагадаємо, що вектор

(2.8)

- одиничний вектор дотичної, спрямований у бік зростання параметраs.

Визначення 2.1Кругом кривизни кривої Г у точці Моназується граничне положення кола, що проходить через точки Мо, М1і М2при М1®МоїМ2®Мо. Радіус цього кола називається радіусом кривизни, та її центр З – центром кривизни кривої Р у точці Мо.

Зауважимо, що радіус кривизни обчислюється за формулою

(2.9)

(2.9')

називається кривизною кривою Г.

Визначення 2.2Головною нормаллю кривої Г у точці Моназується спрямована пряма, що йде з точки Мов центр кола кривизни.

Поодинокий вектор головної нормалі знаходиться за формулою:

(2.10)

або(2.10')

Визначення 2.3Бінормаллю кривої Г у точці Моназується спрямована пряма, що проходить через точку Мої, що утворює разом з позитивною дотичною і головною нормаллю праву трійку, яка називається репером Френе (іноді - супроводжуючим тригранником).

Одиничний вектор бінормалі знаходиться за формулою:

(2.11)

або(2.11')

Визначення 2.3Нормальною площиною називається площина, перпендикулярна дотичній. Спрямовуючою площиною називається площина, перпендикулярна головнійнормалі. Плоскістю, що дотикається, називається площина, перпендикулярна бінормалі. Ці три площини іноді називають супроводжуючим тригранником кривою.

2.4 ФОРМУЛИ ФРЕНЕ

Поодинокі вектори дотичної, нормалі та бінормалі пов'язані формулами Френе (без доказу):

(2.12)

(2.13)

(2.14)

Тут кривизна, а величина

(2.15)

або(2.15')

називається крученням кривою Г у точці М.

Точки, де кривизна кривої дорівнює нулю, називаються точками розпрямлення, а точки, в яких крутіння дорівнює нулю, називаються точками ущільнення.

Для того, щоб крива була плоскою, необхідно і достатньо, щоб кручення в кожній її точці дорівнювало нулю.

2.4ЕВОЛЮТА І ЕВОЛЬВЕНТА ПРОСТОРОВОЇ КРИВОЇ

Визначення 2.5Еволютоюgкривий Г:називається геометричне місце центрів кривизни цієї кривої.

Для отримання рівняння еволютиgзауважимо, що, отже рівняння еволютиgмає вигляд:(2.17)

Визначення 2.6Якщо криваgє еволютою кривою Г, то крива Г називається евольвентою кривоюg.

а) поодинокі вектори дотичної, нормалі, бінормалі;

б) рівняння дотичної, нормалі та бінормалі;

в) рівняння нормальної, що стикається і спрямовує площин;

г) кривизну та кручення;

д) скласти рівняння еволюти.

а) Точці Мо(1, 0, 0) відповідає значення параметраto=0. Знайдемо похідні радіус-вектора в цій точці:

Знайдемо поодинокі вектори дотичної, головної нормалі та бінормалі:;

;

;

;

б) Оскільки вектор є напрямним вектором дотичної, вектор - напрямним вектором головної нормалі, а вектор - бінормалі, запишемо для точкиМо(1, 0, 0) канонічні рівняння дотичної:

,головної нормалі:

та бінормалі:.

в) Нормальна площина проходить через точку Мо(1, 0, 0) перпендикулярно дотичному вектору, її рівняння:.

Дотикаюча площина проходить через точку Мо(1, 0, 0) перпендикулярно вектору бінормалі, її рівняння:.

Спрямовуюча площина проходить через точку Мо(1, 0, 0) перпендикулярно до вектора нормалі, її рівняння:.

г) Кривизна за формулою (2.9'):,.

Кручення знайдемо за формулою (2.15'):.

д) Рівняння еволюти знайдемо за формулою (2.17).

Тут;.

Знайдемо,,

,

.

Звідси випливає, що кривизна і кручення в точках гвинтової лінії мають постійне значення.

Підставимо знайдене у формулу (2.17):

,

тобто. еволютою гвинтовою лінії буде так само гвинтова лінія, але повернена навколо осі Ozна 180 °.

---