Лінія (геометрич)
1) В елементарній геометрії розглядаються прямі Л., відрізки прямих, ламані Л., складені з відрізків, і деякі криві Л. Кожен вид кривих Л. визначається тим чи іншим спеціальним способом (наприклад, коло визначається як геометричне місце точок, що мають задану відстань) R від заданої точки О - центру кола). Іноді в підручниках дають визначення Л. як межі шматка поверхні (поверхня визначається при цьому як межа тіла) або як траєкторії точки, що рухається. Але в рамках елементарної геометрії ці визначення не набувають виразного формулювання.
2) Уявлення про Л. як траєкторію точки, що рухається, може бути зроблено цілком строгим за допомогою ідеї параметричного уявлення Л. Наприклад, вводячи на площині прямокутні координати ( x, у ), можна параметрично задати коло радіуса R з центром на початку координат рівняннями
x = R cos t, y = R sin t.
Коли параметр t пробігає відрізок 0 £ t £ 2p, точка (х, у) описує коло. Взагалі, Л. на площині задають параметричними рівняннями виду
x = j (t), у = (t),
де j (t), (t) - довільні функції, безперервні на якомусь кінцевому або нескінченному інтервалі D числової осі t. p align="justify"> З кожним значенням параметра t (з інтервалу D) рівняння (*) зіставляють деяку точку M, координати якої визначаються цими рівняннями. Л., задана параметричними рівняннями (*) є безліч точок, що відповідають різноманітним значенням t з D, за умови, що ці точки розглядаються в певному порядку, саме: якщо точка M 1 відповідає значенню параметра t 1 а точка M 2 - значенню t 2 , то M 1 вважається попередньою M 2 якщо t 1 0 він може бути представлений у виглядісуми кінцевого числа замкнених множин діаметра, меншого e, що володіють тією властивістю, що жодні три з цих замкнутих множин не мають загальної точки (див. також Розмірність у геометрії). Континуум, що лежить на площині, буде Л. у сенсі Урисона тоді і лише тоді, коли він не містить внутрішніх точок. Цією властивістю характеризував раніше (70-ті рр. 19 ст) Л., що лежать на площині, Р. Кантор. Хоча визначення Кантора застосовується лише до Л., що лежить на площині, іноді й загальні Л. у сенсі Урисона називають «канторовими кривими».
6) Ще математики давнини вивчали лінії другого порядку (еліпс, гіперболу та параболу). Ними ж було розглянуто ряд окремих чудових алгебраїчних Л. вищого порядку, а також деякі трансцендентні (неалгебраїчні) Л. Систематичне вивчення Л. та їх класифікація стали можливими зі створенням аналітичної геометрії (Р. Декарт).
З Л. третього порядку найбільш відомі:
Декартів лист (див.рис. «Алгебраїчні криві третього порядку», № 1 ). рівняння в прямокутних координатах: x 3 + y 3 - 3аху = 0. Вперше крива визначається в листі Р. Декарта до П. Ферма в 1638. Повна форма кривої з наявністю асимптоти, що проходить через точки ( - а, 0) і - а), була визначена пізніше (1692) Х. Гюйгенсом та І. Бернуллі. Назва «декартів лист» встановилася на початку 18 ст.
Локон Аньєзі (див. рис. «Алгебраїчні криві третього порядку», № 2). Нехай є коло з діаметром OC = - а і відрізок BDM, побудований так, що ВВ: BD = OC: ВМ; геометричне місце точок М являє собою локон Аньєзі (або верзієру). рівняння у прямокутних координатах: у = a3/(a2+x2). Дослідження цієї Л. пов'язане з ім'ям італійської жінки-математика Марії Аньєзі (1748).
Кубічна парабола (див. рис. «Алгебраїчні криві третього порядку», № 3). рівняння у прямокутних координатах: у = x 3.
Напівкубічна парабола (див. рис. «Алгебраїчні криві третього порядку», № 4), парабола Нейля. рівняння прямокутних координатах: у = -сх 3/2 . Названа на ім'я англійського математика У. Нейля (1657), який знайшов довжину її дуги.
Строфоїда (від грецьк. stróphos - кручена стрічка і éidos - вид) (див.рис. «Алгебраїчні криві третього порядку», № 5 ). Нехай є нерухома пряма АВ і точка З поза нею на відстані CO = а; навколо З обертається пряма, що перетинає АВ у змінній точці N. Якщо від точки N відкласти по обидва боки прямої АВ відрізки NM = NM' = NO, то геометричне місце точок М і М' для всіх положень променя, що обертається CN і є строфоїда. Рівняння у прямокутних координатах: ; у полярних координатах: r = a cos 2j/cosj. Вперше строфоїду досліджував Е. Торрічеллі (1645), назва була введена в середині 19 ст.
Ціссоїда Діоклеса (див.рис. «Алгебраїчні криві третього порядку», № 6 ) (грец. kissoeides, від kissós - плющ і éidos - вид), геометричне місце точок М, для яких OM = PQ (Р - Довільна точка виробляє кола з діаметром а). Рівняння у прямокутних координатах: y2 = х3/(а - х); у полярних координатах: r = sin 2 j/cos j. Стародавні греки розглядали тільки ту частину цисоїди, яка знаходиться всередині кола, що виробляє. Разом з дугою кола ця частина утворює фігуру, що нагадує лист плюща (звідки назва); наявність нескінченних гілок було встановлено у 17 ст. французьким математиком Ж. П. Робервалем і незалежно від нього бельгійським математиком Р. Ф. Слюзом.
З Л. четвертого і вищих порядків найбільш відомі:
Кардіоїда(від грец. kardía - серце і éidos - вид) (див. рис. «Алгебраїчні криві четвертого і більш високих порядків», № 1 ), крива, що описується якоюсь точкою М кола радіуса а, що котиться без ковзання по нерухомому колу того ж радіуса. рівняння в прямокутних координатах: (x 2 + y 2 - 2ах) 2 = 4a (x 2 + y 2); у полярних координатах: r = 2а (1 + cos j).
Конхоїда Нікомеда (від грец. konchoeides — схожий на раковину) (див. рис. «Алгебраїчні криві четвертого і більш високих порядків», № 2), крива, що виходить при збільшенні або зменшенні кожного радіус-вектора точок даної прямої на одну і ту ж величину d, т. о., OM = OP - d або OM '= OP + d. Якщо відстань від полюса О до даної прямої дорівнює а, то рівняння у прямокутних координатах: (х - а) 2 (х 2 + y 2) - d 2 x 2 = 0, в полярних координатах: r = a / cosj ╠ d . Вперше розглядалася давньогрецьким геометром Нікомедом (близько 250—150 до нашої ери), який використовував її для вирішення задач про трисекцію кута та подвоєння куба.
Лемніската Бернуллі (див. рис. «Алгебраїчні криві четвертого і вищих порядків», № 3) (від латів. lemniscatus, буквально — прикрашений стрічками), крива, що має форму вісімки; геометричне місце точок, добуток відстаней яких від фокусів F 1 (а, 0) і F 2 (а , 0) дорівнює а 2 . рівняння у прямокутних координатах: ( x 2 + y 2 ) 2 - 2a 2 ( x 2 - y 2 ) = 0, у полярних координатах: r 2 = 2а 2 cos 2j. Вперше розглядалася Я. Бернуллі (1694). Лемніскату є окремим випадком овалів Кассіні та синус-спіралей.
Овали Декарта (див.рис. «Алгебраїчні криві четвертого і вищих порядків», № 4 ), геометричні місця точок М, відстані яких від двох фіксованих точок F 1 і F 2 , званих фокусами,помножені на дані числа мають постійну суму з , тобто m MF 1 + + n MF 2 = с . рівняння у прямокутних координатах:
(x + y▓▓ -2rx) 2 - l 2 (x 2 + y 2) - k = 0,
де r, l і k - деякі постійні, пов'язані з параметрами m, n і d; у полярних координатах:
( n 2 - m 2 )( 2 + 2 (( mc - n2d cos () + n 2 d 2 - з 2 = 0)).
Крім фокусів F 1 і F 2 є і третій фокус F 3 , рівноправний з кожним з них. При m = 1, n = 1 овал Декарта перетворюється на еліпс; при m = 1 і n = -1 - у гіперболі. Приватним випадком овалу є також равлик Паскаля. Овали вперше досліджувалися Р. Декартом (1637).
Овали Кассіні (див. рис. «Алгебраїчні криві четвертого і вищих порядків», № 5), геометричні місця точок М, добуток відстаней яких від двох даних точок постійно. Нехай F 1 і F 2 точки на осі абсцис, F 1 F 2 = 2 b, а добуток MF 1 × MF 2 = а 2 . рівняння у прямокутних координатах:
(x 2 + y 2) 2 - 2b 2 (a 2 - y 2) = a 4 - b 4 .
Якщо , то овал Кассіні - опукла крива; якщо b а овал Кассіні є двозв'язковою кривою. Вперше розглянута Дж. Кассіні (17 ст.).
Равлик Паскаля (див.рис. «Алгебраїчні криві четвертого і вищих порядків», № 6 ), геометричне місце точок М і M', розташованих на прямих пучках (центр якого Про лежить на колі радіуса R) на відстані а по обидва боки від точки Р перетину прямих з колом; т. о., PM = PM' = а. рівняння у прямокутних координатах: (x 2 + y 2 - 2Rx) 2 - а 2 (х 2 + y 2) = 0, у полярних координатах: r = 2 R cos j + а. При а = 2 R петля стягується в точку, в цьому випадку равлик Паскаля перетворюється на кардіоїду. Назва на ім'я французького вченого Е. Паскаля (1588-1651), впершещо вивчав її.
Астроіда (від грец. ástron - зірка і éidos - вид) (див.рис. «Алгебраїчні криві четвертого і більш високих порядків», № 7 ), крива, що описується точкою рухомого кола, що стосується зсередини нерухомого кола вчетверо більшого радіусу і котиться нею без ковзання. рівняння прямокутних координатах: x 2/3 + y 2/3 = а 2/3 , де а — радіус нерухомого кола. Астроіда - лінія 6-го порядку.
Троянди (див.рис. «алгебраїчні криві четвертого і вищих порядків», № 8 ), криві, полярне рівняння яких: r = a sin m j; якщо m - раціональне число, то троянди - алгебраїчної Л. парного порядку. При m непарному троянда складається з пелюсток, при m парному — з 2 m пелюсток; при m раціональному пелюстки частково покривають один одного.
Синусоїдальні спіралі, синус-спіралі (див.рис. «Алгебраїчні криві четвертого і більш високих порядків», № 9 ), криві, полярне рівняння яких r m = a m cos m j; якщо m – раціональне число, то ці Л. – алгебраїчні. Приватні випадки: m = 1 – коло, m = – 1 – пряма, m = 2 – лемніската Бернуллі, m = –2 – рівнобочна гіпербола, m = 1/2 – кардіоїда, m = – 1/2 – парабола. Загалом m > 0 Л. складається з m пелюсток, кожен з яких лежить усередині кута, рівного p/m, при раціональному m > 0 пелюстки можуть частково покривати один одного; якщо m а ), — укорочену циклоїду (див.рис. «Трансцендентні криві», № 4б ), якщо точка поза коло ( r f(j) або f(j + 2p)
Велика Радянська Енциклопедія. - М.: Радянська енциклопедія. 1969-1978.
Дивитись що таке "Лінія (геометрич. поняття)" в інших словниках:
ДИФЕРЕНЦІАЛЬНА ГЕОМЕТРІЯ — розділ геометрії, в якому вивчаються геометрич. образи, насампередкриві та поверхні, методами математич. аналізу. Зазвичай у Д. р. вивчаються властивості кривих і поверхонь у малому, тобто властивості як завгодно малих їх шматків. Крім того, … Математична енциклопедія
ПРОСТІР І ЧАС — загальні форми буття матерії, її найважливіші атрибути. У світі немає матерії, яка не володіє просторово тимчасовими властивостями, як не існує П. і ст. самих собою, поза матерією чи незалежно від неї. Простір є форма буття… … Філософська енциклопедія
Багатообраз - геометричний об'єкт, локально має будову (топологічне, гладке, гомологічне або інше) числового простору або іншого векторного простору. Це фундаментальне поняття математики уточнює та узагальнює на будь-яку кількість вимірів.
СИМЕТРІЯ — (від грецьк. пропорційність), поняття, що характеризує перехід об'єктів у самих себе або один в одного при здійсненні над ними визнач. перетворень (перетворень С.); у широкому значенні властивість незмінності (інваріантності) деяких ... Філософська енциклопедія
МАТЕРІАЛІЗМ — (від латів. materialis речовий) багатозначна ідея, якій найчастіше надається одне чи деякі з таких смислів. 1. Твердження щодо існування чи реальності: лише матерія існує чи є реальною; матерія є … Філософська енциклопедія
ПРАКТИКА - (грец. praktike, від praktikos діяльний, активний) матеріальна, чуттєво предметна діяльність людини. П. включає: доцільну діяльність; предмет, на який спрямована остання; засоби, за допомогою яких досягається мета; ... ... Філософська енциклопедія
ПОЛЕ ФІЗИЧНЕ - одне з осн. понять фізики, що виникло у 2-й пол. 17 ст. [хоча термін П. ф.був у фізику значно пізніше англ. фізиком Дж. К. Максвеллом; у математиці поява; Термінове поле пов'язане з роботою англ. математика У. Р. Гамільтона О… … Філософська енциклопедія
АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ - розділ геометрії. Основними поняттями А. р. є найпростіші геометричні. образи (точки, прямі, площини, криві та поверхні 2-го порядку). Основними засобами дослідження в А. р. служать метод координат і методи елементарної алгебри.
ДУША — (грец. psyhe, лат. anima) одне з центральних понять європейської філософії, у зв'язку з розробкою якого вся ієрархія буття, життя та думки поступово освоюється як у своїх найнижчих, так і найвищих пластах і стосовно якого… … Філософська енциклопедія