Лопатка із показовим законом зміни площі перетину за висотою
Розподіл напруг, що розтягують, по висоті лопатки визначається наступною залежністю:
деσ0- напруга в корені лопатки постійного перерізу при тих же величинахlіυ, що і для лопатки змінного перерізу;
На відміну від лопаток з постійним і лінійним законами розподілу перерізів по висоті, в даному випадку максимальна напруга, що розтягує, може досягатися в перерізі вище кореневого. Для визначення його координати досліджуємо функцію (22) максимум, обчисливши її похідну і прирівнявши до нуля.
Прологарифмуємо обидві частини останнього рівняння:
Якщо за формулою (23) виходять негативні значенняζмакс, то найбільша напруга, що розтягує, досягається в кореневому переріз (ζмакс=0). Сама величина максимальної розтягуючої напруги обчислюється з використанням функції (22):
Для кількісного порівняння ефективності різних законів зниження напруг, що розтягують, в кореневій області робочої лопатки використовується коефіцієнт розвантаження
деσмакс– найбільша напруга у лопатці змінного перерізу;σ0- напруга в корені лопатки постійного перерізу при тих же величинахlтаυ, що і для лопатки змінного перерізу. Лопатки з показовим законом зміни площ мають велике розвантаження (менше значенняk) за рівнихaіυпорівняно з робочими лопатками з лінійним законом зміни площ.
Лопатка рівної міцності.
Лопатка рівної міцності має дві ділянки. На першій ділянці, від кореневого перерізу до перерізу з координатоюz=z *, закон зміни площ вибирають так, щоб напруга, що розтягує, булапостійно по довжині цієї ділянки. На другій ділянціz * ≤z≤lлопатка має постійний поперечний переріз.
Розглянемо першу ділянку. Тут напруги, що розтягують, постійні
деσ1– постійна напруга першому ділянці. З урахуванням формули (13) останній вираз набуде вигляду:
Продиференціювавши, отримане співвідношення перетворимо на звичайне диференціальне рівняння:
або після поділу змінних
Знак «мінус» у наведених рівняннях означає, що площа поперечного перерізу повинна зменшуватися від кореня до периферії, тобто при перерізі, що розділяє перший і другий ділянки лопатки рівної міцності. На першій ділянці напруги залишаються постійними і є найбільшими для лопатки, що розглядається, тобтоσ1=σмакс. Починаючи з перерізу з координатоюz *(друга ділянка), вони починають знижуватися і досягають нуля на периферії. Таким чином, напруга, що розтягує, в перерізіz *складеσмакс. Площа поперечного перерізу першому ділянці змінюється відповідно до першого рівнянню (25), другою – залишається постійним і рівним периферійному. Отже, у перерізі з координатоюz *воно також дорівнюватиме периферійному.
На межі ділянок приz=z *напруга, що розтягує, і площа поперечного перерізу повинні одночасно задовольняти рівнянням (17) і (25):
Відповідно до введених раніше позначень маємо
деk- коефіцієнт розвантаження;а– відношення периферійної та кореневої площ поперечних перерізів лопатки.
Розглянемо друге рівняння з (26). Перетворимо комплекс у квадратних дужках:
В отриманому вираженні винесемо величину за дужкуl
та з урахуванням раніше введених позначень отримаємо
Тоді вираз (27) набуде наступного вигляду:
деdкіdс– відповідно кореневий та середній діаметри колеса.
Перегрупувавши множники в отриманому вираженні
Розглянемо перше рівняння системи (26). Розкривши дужки, отримаємо
З урахуванням виразів (28) і (29), система (26) набуде наступного вигляду:
Порівнюючи перше та друге рівняння системи (30), легко встановити взаємозв'язок між параметрамиkіa:
а координату ζ * отримаємо рішення першого рівняння:
Мінімальні величини віялості, що відповідають довгим лопаткам останніх ступенів турбіни, становлятьυ=2…3, а (υ-1) – завжди більше за нуль. Тому з двох можливих рішень рівняння (32) фізичний сенс має лише
Після елементарних перетворень остаточно отримаємо
Лопатка рівної міцності має найбільше розвантаження зі всіх порівнюваних законів.