Математичні методи обробки психологічних даних - Порівняння середніх значень
Найпопулярніше
16. ПОРІВНЯННЯ СЕРЕДНІХ ЗНАЧЕНЬ КІЛЬКІСНИХ ОЗНАК ДВОХ ЗАЛЕЖНИХ (ЗВ'ЯЗАНИХ) ВИБОРІК
Іноді нам доводиться вимірювати ту саму ознаку (показник) для однієї й тієї ж групи осіб, але в різні моменти часу. Наприклад, до проведення експерименту та після експерименту. В результаті як вихідні дані ми отримуємо дві вибірки однакового обсягу х1, х2, ..., хn і у1, у2, ..., уn (одні і ті ж люди). Причому елементи вибірки, які стоять одному й тому самому місці кожної з вибірок повинні відповідати зміненому показнику однієї й тієї особи. Тому такі вибірки часто називають пов'язаними. Вони є залежними, т.к. Значення елементів другої вибірки залежать від значень елементів першої вибірки. Вихідні дані у прикладі називаються типу «до – після». Пов'язаними вибірками можуть розглядатися також дані типу «брат – сестра» (у 1 вибірці показуємо хлопчиків, у другій – дівчаток), «чоловік – дружина». Для цих даних можна розглянути завдання порівняння середніх значень двох вибірок, на вирішення якої застосовується загальна схема перевірки статистичної гіпотези. 1 і 2 етапи - див. 15. 3 етап - обчислюємо значення статистики критерію, що спостерігається. Для цього спочатку з двох вихідних вибірок отримуємо одну вибірку різниць, яку позначатимемо d1, d2, …, dn, де di = xi – yi. За отриманою n вибіркою різниць обчислюємо середнє значення d = di : n, а також n 2 i=1 стандартне відхилення Sd = (di – d) : (n – 1), тоді спостережуване i=1 значення статистики критерію обчислюється за такою формулою: tнабл. = n d/Sd 4 етап – знаходимо критичне значення статистики критерію. У нашому випадку статистика критерію має t-розподілСтьюдента з числом ступенів свободи = n - 1, тому для знаходження t-критичного необхідно скористатися статистичною таблицею розподілу Стьюдента (див. 4 етап 15 параграфа). 5 етап – робимо висновок про правильність тієї чи іншої гіпотези за таким правилом: 1) якщо –tкр tкр, то приймається альтернативна гіпотеза, тобто. ми робимо висновок у тому, що середні значення аналізованих ГС статистично різні чи, іншими словами, експеримент призвів до зміни середнього значення досліджуваного показника. Для того щоб з'ясувати, в яку сторону відбулася зміна середнього значення (стало більше або менше), необхідно порівняти середнє значення двох вихідних вибірок х і у (арифметично).
Примітка. 1) розглянутий критерій повинен застосовуватися для вибірок, вилучених із ГС, які мають нормальний розподіл з однаковими дисперсіями. 2) якщо ці умови не виконуються, необхідно скористатися критерієм, розглянутим далі в параграфі 18. 3) розглянутий у даному параграфі критерій у літературі зазвичай називається парним t-критерієм.
Приклад: Проведено експеримент з дослідження впливу процесу навчання на рівень знань студентів коледжу. 100 першокурсникам було запропоновано тест із 60 питань, цей же тест був запропонований цим же студентам, але вже випускникам (коли вони вже відучилися). Як вимірюваний показник розглядалося кількість правильних відповідей. Перевірити гіпотезу про наявність чи відсутність впливу процесу навчання у коледжі до рівня знань. Рішення. У експерименті вихідні дані є 100 пар значень типу «до – після», тобто. дві пов'язані вибірки х1, х2, …, х100 та у1, у2, …, у100. Вибираємо рівень значущості = 0,01. За вихідними вибірками було обчислено вибірку різниці, за якою було знайдено d =- 7,02 Sd = 8,02 (стандартне відхилення) n = 100 tнабл. = 100 (- 7,02: 8,02) = - 8,75. Шукатимемо за таблицею tкр. /2 = 0,01:2 = 0,005 = n - 1 = 100 - 1 = 99.
Тобто. ми робимо висновок, що навчання в коледжі призводить до зміни середнього рівня знань. d = - 7,02 Zкр, приймається гіпотеза Н1, тобто. робимо висновок у тому, що це середні значення статистики різні лише на рівні значимості чи, іншими словами, у результаті експерименту відбулися зміни середнього значення досліджуваного ознаки. Примітки: 1) нульові різниці ігноруються. І тут необхідно зменшити відповідним чином величину n. 2) якщо у вибірці різниць зустрічаються абсолютні величини, то в цьому випадку як ранг відповідним значенням присвоюється ранг, рівний середньому значенню тих рангів, які отримали б ці величини у разі їх розбіжності. Приклад: два сорти пшениці порівнюють за врожайністю. Сорт "а" - звичайного різновиду, сорт "б" - новий гібрид. Для цього вибирають 10 ділянок, кожну з яких ділять навпіл. На кожній окремій ділянці умови зростання та дозрівання однакові, випадковим чином обирають одну половину ділянки та засівають її сортом «а», а другу – «б». Результати збирання врожаю наведено у відповідній таблиці. Чи є підтвердження того, що врожайність сорту «б» вища за врожайність сорту «а»?