Математичні операції з наближеними значеннями
Числа, бувають двох пологів. Одні точно дають справжню величину, інші – тільки приблизно. Перші називаютьсяточними, другі -наближеними. Часто ми свідомо беремо наближене число замість точного, оскільки останнє не потрібно. У багатьох випадках точне число неможливо знайти.Результат будь-якого виміру фізичної величини – це наближене число.
Результат дії з наближеними числами є наближене число.
З використанням наближених значень оперують поняттями значимих чисел. Значними цифрами називаються всі цифри числа, крім нулів, що стоять попереду числа. Останнє значне число – сумнівне, інші – правильні. Наприклад, серед 0,00174 три значущі цифри; у числі 0,02045 чотири значущі цифри; у числі 2300 – чотири; серед 2,3·10 3 – дві. Число значущих цифр деякого числа називається його значимістю.
Теорія наближених обчислень дозволяє:
1) знаючи ступінь точності даних, оцінити рівень точності результатів ще до виконання дій;
2) брати дані з належним ступенем точності, достатнім, щоб забезпечити необхідну точність результату, але не надто великий, щоб позбавити обчислення від марних розрахунків;
3) раціоналізувати сам процес обчислення, звільнивши його від тих викладок, які не вплинуть на точні цифри результату.
Складання та віднімання наближених значень
Якщо не всі дані числа закінчуються на тому самому розряді, то до виконання додавання або віднімання слід зробити округлення. Потрібно утримати ті розряди, які значимів усіх доданків. Інші відкидаються як марні. При невеликій кількості доданків усі цифри суми, крім останньої, будуть вірні. Остання може бутисумнівною. Цю неточність можна звести до мінімуму, враховуючи вплив цифр наступного розряду (запасні цифри).
приклад. Знайти суму 25,3+0,442+2,741.
Не округляючи доданків, отримаємо 28,483. Останні дві цифри марні, тому що в першому доданку можлива неточність у кілька сотих. Округлюючи суму до значних цифр (тобто до десятих часток), отримуємо 28,5.
Якщо зробимо округлення до точних цифр попередньо, то знайдемо без зайвих труднощів 25,3 + 0,4 + 2,7 = 28,4. Цифра десятих вийшла на 1 менше. Якщо врахувати і цифри сотих, отримаємо 25,3 + 0,44 + 2,74 = = 28,48, т. е. округлено 28,5. Цифра 5 надійніша, ніж 4, хоча не виключена можливість, що перша цифра – саме 4.
Гранична абсолютна похибка суми не перевищує суми граничних абсолютних похибок окремих доданків.
Твір та розподіл наближених значень
Гранична відносна похибка твору чи розподілу вбирається у суму граничних відносних похибок аргументів.
Похибка можна оцінити простіше (але зате грубіше), ніж за вищезгаданим способом. Ця оцінка ґрунтується на наступному правилі.
Нехай перемножуються два наближені числа, і нехай кожне має поkзначущих цифр. Тоді (k-1)-я цифра твору безумовно вірна, аk-я цифра може бути сумнівною.
приклад. Перемножимо наближені числа 2,45 і 1,22, що мають кожне по три цифри. У творі 2,9890 перші дві цифри, безперечно, вірні. Третя цифра може бути не влучною. Тому третю цифру слід утримати; четверту цифру немає сенсу зберігати. Округлюючи, маємо: 2,45 × 1,22 ≈ 2,99.
1. Якщо перемножуються (діляться) наближені числа з одним і тим самим кількістю значущих цифр, тотворі слід утримати стільки ж значущих цифр. Остання із утриманих цифр буде сумнівною.
2. Якщо деякі співмножники мають більше значущих цифр, ніж інші, то до множення слід перші округлити, зберігши в них стільки цифр, скільки має найменш точний співмножник, або ще одну (як запасний). Подальші цифри тримати марно.
3. Якщо потрібно, щоб добуток двох чисел мав заздалегідь дану кількість цілком надійних цифр, то в кожному з співмножників число точних цифр (знайдених виміром або обчисленням) має бути на одиницю більше. Якщо кількість співмножників більше двох і менше десяти, то в кожному з співмножників число точних цифр для повної гарантії має бути на дві одиниці більше, ніж потрібне число точних цифр. Практично цілком достатньо взяти лише одну зайву цифру.
Хід роботи
1. Оцінити кореляцію даних.
Для цього необхідно визначити коефіцієнт кореляції за формулою (6) та оцінити його кореляцію за формулою (7).