Матриці. Види матриць. Мінори. Алгебраїчні доповнення.
1.Матриці. Види матриць.
2.Дії над матрицями.
4.Мінори. Алгебраїчні доповнення.
6. Система лінійних рівнянь.
1.Матриці. Види матриць.
Прямокутна таблиця, складена з дійсних чисел наступного виду
називається матрицею розміру m x n, де m – кількість рядків, n – кількість стовпців.
Якщо m=n, то матриця називається квадратною.
Матриця, складена з одного стовпця, називається стовпцем. Матриця, складена з одного рядка, називається матрицею-рядком.
Нехай дана матриця
тоді матриця виду
2.Дії над матрицями.
Сумою матриць однакового розміру називається матриця того ж розміру, кожен елемент якої дорівнює сумі відповідних елементів даних матриць.
Різницею матриць однакового розміру називається матриця того ж розміру, кожен елемент якої дорівнює різниці відповідних елементів даних матриць.
Твір матриці на деяке число називається матриця, отримана з даної множенням всіх її елементів на це число.
Добутком двох матриць – матриці розміру m x n і матриці розміру n x k – називається матриця розміру m x k , кожен елемент якої дорівнює сумі творів відповідних елементів i-го рядка матриці А і j-го стовпця матриці В.
Визначником квадратної матриці другого порядку називається число
Визначником квадратної матриці третього порядку називається число
4. Мінори. Алгебраїчні доповнення.
МіноромМij, відповідним елементуаijвизначника називається визначник меншого порядку, отриманий з даного викреслюванням рядка та стовпця, що містить елемент>аij.
Квадратна матрицяназивається невиродженою, якщо її визначник відмінний від нуля, і виродженою інакше.
МатрицяA -1називається зворотною для квадратної матриціА,якщо виконується рівність:
А -1 × А = А × А -1 = Е
Квадратна матриця має зворотну і тоді, коли вона невироджена, тобто. коли
6.Система лінійних рівнянь.
Лінійною системоюmрівнянь зnневідомимих1,х2, ...хnназивається система виду:
Дійсні числаaijназиваються коефіцієнтами системи;biназиваються вільними членами системи. Упорядкований набір чиселc1,c2,…cnназивається рішенням системи, якщо, будучи підставленим кожне із рівнянь, він перетворює в вірні рівності.
Система лінійних рівнянь алгебри називається спільною, якщо вона має рішення, в іншому випадку вона називається несовместной.
Спільна система називається певною, якщо вона має єдине рішення, інакше вона називається невизначеною.
Метод Крамера застосовується при вирішенні систем, у яких кількість рівнянь та кількість невідомих збігаються:
Складемо головний визначник системи та обчислимо його.
Складемо та обчислимо допоміжні визначники ,деi=1,2,…,n, шляхом заміни i-го стовпця стовпцем вільних членів.
Вирішення системи лінійних рівнянь знаходиться за формулами Крамера:
Розглянемо системуnлінійних рівнянь ізnневідомими:
1.Основна матриця системи
3.Вектор-стовпець вільних членів
Запишемо систему у матричному виглядіАХ=В.
Рішення матричного рівняння має вигляд:Х=А -1 ×В, якщо
Метою методу Гауса є приведенняматриці системи до трикутного вигляду, використовуючи елементарні перетворення:
1.Умножение деякого рівняння на число, що не дорівнює нулю.
2. Додаток до одного рівняння системи іншого рівняння, помноженого на довільне число.
3. Перестановка місцями двох рівнянь системи.
Суть методу полягає у наступному.
Нехай дана системаmлінійних рівнянь зnневідомими
Запишемо розширену матрицю системи
Нехайа11≠ 0, інакше завжди можна вважати перше рівняння те, у якому коефіцієнт прихiвідмінний від нуля і перенумерувати невідомі.
а) вийшов рядок розширеної матриціС (1), у якої всі елементиaij(1),i=2,…m,j=2,…n дорівнюють нулю, а хоча б один відповідний елементbi(1)≠0. Тоді вихідна система несумісна.
б) тільки перший рядок матриціС (1)ненульовий. Тоді вихідна система складається з одного рівняння. Якщо у цьому рівнянні всі коефіцієнти, крімa11рівні нулю, то вихідна система має єдине рішення. Інакше система невизначена.
в) серед коефіцієнтівai1(1)існує хоча б один відмінний від нуля. Тоді слід перейти до чергового кроку.
Тут можливі випадки а, б, в. Якщо має місце третій випадок, слід перейти до наступного кроку тощо.
Необхідно навести матрицю до виду:
З цієї матриці легко знайдемо єдине рішення, здійснюючи «зворотний хід».
З останнього рівняння маємо:
Приклади розв'язання задач.
Завдання 1.Знайдіть суму матриць:
Завдання 2.Знайдіть добуток матриць: