Матриця парних порівнянь, Обчислення вектора пріоритетів, Узгодженість матриці парних порівнянь

Матриця парних порівнянь

Матриця парних порівнянь є квадратною. Для її побудови в ієрархії виділяють елементи двох типів: елементи – «батьки» та елементи – «нащадки». Елементи – «нащадки» впливають на відповідні елементи вищого рівня ієрархії, що є по відношенню до перших елементів – «батьками». Матриці парних порівнянь будуються всім елементів - «нащадків», які стосуються відповідного елементу - «батьку». Елементами - "батьками" можуть бути елементи, що належать будь-якому ієрархічному рівню, крім останнього. Парні порівняння проводять у термінах домінування[26]. Домінування одного елемента над іншим виражається з допомогою шкали відносин.

Заповнення квадратних матриць парних порівнянь здійснюється за таким правилом. Якщо елемент A домінує над елементом B, то клітина матриці, що відповідає рядку A і стовпцю B, заповнюється цілим числом, а клітина, що відповідає рядку B і стовпцю A, заповнюється зворотним до нього числом і навпаки, тобто матриця обернено-симетрична.

Таким чином, матриця парних порівнянь набуде вигляду:

Обчислення вектора пріоритетів

Якщо А-матриця значень парних порівнянь, то знаходження вектора пріоритетів можна сформулювати [27] таке завдання:

Доведемо, що так.

Припустимо [27], що -елементи певного рівня ієрархії. Визначимо ваги їхнього впливу елемент наступного рівня. Нехай матриця значень , що відповідає значущості елемента , яка є обернено-симетрична, тобто . Отже, А-узгоджена: .

Тоді Розглянемо матричне рівняння

Де і , що відповідає системі рівнянь:

Що еквівалентно виразу

Теоретично матриць ця формула відбиває те, що - власнийвектор матриці А з власним значенням n. Розглянемо такі два факти.

1. якщо числа, що задовольняють рівняння

Тобто є власними значеннями матриці А, і якщо , то

Тому, якщо має місце (3), то всі власні значення нулі, крім одного, який дорівнює n. У разі узгодженості n - найбільше власне значення А.

2. Якщо елементи обернено симетричної матриці А позитивні трохи змінити, то власні значення також зміняться незначно.

З фактів випливає, що якщо діагональ матриці А складається з одиниць і вона узгоджена, то при малих змінах найбільше власне значення залишається близьким до n, а інші власні значення - близькими до нуля. Що й потрібно було довести.

Для позитивної квадратної матриці А власний вектор , що відповідає максимальному власному значенню з точністю до постійного співмножника C можна обчислити[2] за формулою

Т-символ транспонування. Обчислення власного вектора за виразом (4) провадяться до досягнення заданої точності.

Максимальне власне значення обчислюється за такою формулою:

Узгодженість матриці парних порівнянь

У практичних завданнях однорідність суджень порушується, що з такими людськими якостями як втома, неуважність, незнання тощо. Узгодженість позитивної зворотно-симетричної матриці A еквівалентна вимогі рівності її максимального значення з n.

Однорідність суджень оцінюється індексом однорідності (ІВ)

або ставленням узгодженості (ГО)

Де М (ІВ) - середнє значення (математичне очікування) індексу однорідності. Середнє значення індексу однорідності залежить від порядку матриці, як показано в таблиці 9.

---