Метод інструментальних змінних
Метод інструментальних змінних (ІП, IV - Instrumental Variables)- метод оцінки параметрів регресійних моделей, заснований на використанні додаткових, що не беруть участі в моделі, так званихінструментальних змінних. Метод застосовується у разі, коли фактори регресійної моделі не задовольняють умову екзогенності, тобто є залежними до випадкових помилок. У цьому випадку оцінки методу найменших квадратів є зміщеними та неспроможними.
Очевидно, метод інструментальних змінних був уперше сформульований Райтом (Wright) 1928 року як метод оцінки кривих попиту та пропозиції. Сам термін «інструментальні змінні» був уперше використаний у статті 1941 Рієрсолом (Riersol) при обговоренні помилок у змінних. Далі метод отримав розвиток у роботах Дарбіна (1954), Саргана (1958) та ін. У контексті систем одночасних рівнянь метод розвивався паралельно під назвою «двокроковий метод найменших квадратів (МНК)».
Зміст
Нехай є лінійна регресійна модель
Якщо фактори та випадкові помилки корельовані, то друга умова не виконана і, отже, МНК-оцінки не є заможними. Тобто навіть при дуже великій кількості спостережень оцінки можуть не наближатися до справжніх значень.
Нехай є фактори Z, некорельовані з випадковими помилками, кількість яких дорівнює кількості вихідних факторів. Ці змінні називаютьсяінструментальними змінними. Серед них можуть бути як чисто інструментальні змінні (відсутні в моделі), так і змінні моделі (останні самі передбачаються екзогенними). Тоді оцінкою методу інструментальних змінних називається оцінка такого виду:
Випадок найпростішої регресії
Незважаючи на спроможність, у загальному випадку ІП-оцінки зміщені та неефективні. ІП-оцінки тим краще, чим сильніше інструментальні змінні корелюються з вихідними факторами моделі (при збереженні некорелюваності з випадковими помилками). Вибір інструментальних змінних є окремою складною проблемою. Суворих рекомендацій щодо вибору інструментів немає.
Можна показати, що оцінку методу ІП можна звести до двокрокової процедури: спочатку звичайним МНК необхідно оцінити залежність вихідних факторів від інструментів і використовувати отримані оцінки факторів замість самих факторів для оцінки параметрів вихідної моделі. Це так званий двокроковий МНК.
Як інструментальні змінні можуть бути обрані МНК-оцінки регресії факторів на деякі інші змінні Z, кількість яких не менше кількості вихідних факторів. Тобто першому етапі необхідно оцінити регресію X = Z β + u t > звичайним МНК:
Тоді матриця інструментальних змінних у цьому випадку дорівнюватиме
На другому етапі застосовуємо метод інструментальних змінних з отриманими інструментами X^>> :
Якщо кількість інструментів z збігається з кількістю вихідних змінних (випадокточної ідентифікації), то матриці Z T X , X T Z X,
X^Z> є квадратними. Отже
b ^ I V = ( X T Z ( Z T Z ) − 1 Z T X ) − 1 X T Z ( Z T Z ) − 1 Z T y = ( Z T X ) − 1 ( Z T Z ) ( X T Z ) − 1 ( X T Z ) ( Z T Z ) − 1 ( Z T y ) = ( Z T X ) − 1 Z T y _=(X^Z(Z^Z)^Z^X)^X^Z(Z^Z)^Z^y=(Z^X)^(Z^Z) (X^Z)^(X^Z)(Z^Z)^(Z^y)=(Z^X)^Z^y>
Тобто отримуємо класичну формулу методу інструментальних змінних. Таким чином, незважаючи на те, що цей метод виводиться як окремий випадок, проте його можна вважатиузагальненням класичного методу ІП. Це так званийузагальнений метод інструментальних змінних (GIVE - Generalized Instrumental Variables Estimator).
Зв'язок із двокроковим МНК
Можна показати, що якщо на другому етапі застосувати не метод інструментальних змінних, а звичайний МНК, то отримаємо таку саму формулу, так як
Таким чином, узагальнений метод інструментальних змінних еквівалентний двокроковому методу найменших квадратів (ДМНК, TSLS, 2SLS - Two-Stage Least Squares).