Метод простих ітерацій – Привіт Студент!
Звіт з лабораторної роботи
Метод простих ітерацій
Зміст
2 Короткі теоретичні відомості………………………………………………..4
2.2 Метод простих ітерацій………………………………………………..6
4 Список використаної литературы…………………………………………..15
1 Постановка задачі
Нехай функція f(x)=0 монотонна на відрізку [a,b], причому виконана умова: f(a)*f(b) 3 -0,1x 2 +0,4x-1,5=0,
використовуючи метод простих ітерацій.
2 Короткі теоретичні відомості
2.1 Метод Ньютона
Якщо відомо початкове наближення до кореня рівняння f(x)=0, ефективним методом уточнення коренів є метод Ньютона (метод дотичних).
Нехай функція f(x) має першу та другу похідну на відрізку [a,b], причому виконано умову знакозмінності функції f(a)*f(b) 0, можна побудувати ітераційну послідовність
схожу до єдиного на [a,b] рішенню x рівняння f(x)=0.
В даному методі процес ітерацій полягає в тому, що як наближення до кореня приймаються значення x0, x1, x2. точок перетину дотичної до кривої y=f(x) з віссю абсцис. Тобто геометрично метод Ньютона еквівалентний заміні невеликої дуги кривої y=f(x) дотичної. При цьому не обов'язково задавати відрізок [a, b], що містить корінь рівняння, а достатньо знайти деяке початкове наближення кореня х = х0 (рисунок 1).
Малюнок 1 –Метод дотичних
Як початкове наближення виберемо х0=a, для якого виконується умова f(x0)* f'І(x0)>0. Проведемо дотичну в точці A0 [x0, f (x0)]. Першим наближенням кореня буде точка перетину цієї дотичної з віссю абсцис х1. Через точку A1[x1,f(x1)] знову проводимо дотичну, точка перетину якої з віссю ОХдасть нам друге наближення кореня х2 і т.д.
На малюнку 2 наведено можливі варіанти вибору правого або лівого кінця відрізка як початкове наближення.
Умова вибору: f(x)*f ''(x)>0.
Малюнок 2 – Вибір відрізка
Висновок формули Ньютона.
Рівняння дотичної, проведеної до кривої y=f(x) у точці А0[x0,f(x0)], має вигляд:
Звідси знайдемо таке наближення кореня. Приймемо х = х1 (y = 0), тоді
-f(x0) = f'(x0) (x1-x0),
Аналогічно можуть бути знайдені і такі наближення, як точки перетину з віссю ОХ дотичних, проведених у точках А1, А2 і т.д. Формула Ньютона для n+1-го наближення матиме вид: .
Для закінчення ітераційного процесу можна використовувати умова: .
2.1 Метод простих ітерацій
Одним із найважливіших чисельних методів розв'язання нелінійних рівнянь є метод ітерацій. Сутність методу ось у чому.
Нехай функція f(x) монотонна на відрізку [a,b], причому виконана умова: f(a)*f(b) l (x) l (x)>0 (а, б) та при φ l (x ) l (x). Чим менше φ l (x) поблизу кореня, тим швидше сходиться процес
Ітераційні процеси можуть бути односторонніми, якщо φ l (x) 0 і двосторонніми, якщо φ l (x) e, де q=0,052. Якщо умова виконується x0:=x і знову рахуємо значення функції. Якщо не виконується – виходимо із циклу.
Крок 4: Виводимо отриманий результат.
Крок 5: Кінець завдання.
3.2 Блок схема
3.3Текстпрограми
Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,