Методи першої групи, Контент-платформа

групи

Методи першої групи

ЛПР може висловити свої переваги у різній формі. Це залежить від особливостей самого ЛПР, новизни завдання, типу та числа критеріїв та інших факторів. Тому методи цієї групи відрізняються тим, що використовують різні уявлення уподобань та способи їх формалізації. Проте всі вони в кінцевому підсумку зводять багатокритеріальну задачу до одного або ряду завдань з одним (іноді узагальненим) критерієм.

Функція корисності

Стосовно багатокритеріальної задачі як товарів і послуг виступають критерії, а як споживач – ЛПР. При цьому передбачається існування на безлічі значень критеріївy1,y2,….,ymскалярної оцінки переваг ЛПР, яка називається корисністю. ФункціяU, яка кожній точці Y критеріального простору ставить у відповідність дійсне числоU(Y),називається функцією корисності (цінності) ЛПР, якщо Y¢

Y"UU(Y')=U(Y"), Y'ýY"UU(Y')>U(Y"). Таким чином, функція корисності є математичною моделлю переваг ЛПР. Якщо функція корисності відома, то багатокритеріальна задача зводиться до стандартної задачі оптимізації: знайти вектор XÎD, що максимізуєU[Y(X)]. Безліч точок критеріального простору, однакових за перевагою (для якихU(Y)=Const), утворює гіперповерхню рівного рівня функції корисності. Гіперповерхні рівного рівняU(Y) називаються кривими байдужості, а сімейство всіх кривих байдужості – картою байдужості. Така термінологія пов'язана з тим, що для будь-яких двох альтернатив Y' і Y", що лежать на одній кривій байдужості,U(Y')=U(Y "), тобто ЛПР все одно, досягне вінY'або Y".
Щоб побудуватиU(Y), насамперед необхідно встановити її вид, який визначається структурою переваги ЛПР. Виявлення структури переваг – найвідповідальніший етап побудови функції корисності. Слід проте помітити, що й функціяUоднозначно визначає всю структуру переваг, то зворотне неправильно. Це означає, що та сама структура може бути представлена ​​різними функціями корисності, які є стратегічно еквівалентними. Функції корисностіU1(Y) таU2(Y) стратегічно еквівалентні, якщо вони призводять до однакового впорядкування за перевагою. Так будь-якіU1 іU2, пов'язані з будь-якою монотонно зростаючою функцієюТ(),є еквівалентними. Справді, максимізаціяU1(Y) таU2(Y)=T[U1(Y)] призведе до одного результату, т. е. обидві функції однаково відбивають структуру переваг ЛПР. У сприятливих випадках вдається описувати переваги ЛПР функцією корисності, що має порівняно простий вигляд: U(y1,y2.ym)=F[U1(y1),U2(y2).Um (ym)],(10.7) тобто багатовимірна функція визначається через одновимірні функції корисності значень одного окремо взятого критерію Зі збільшенням розмірності критеріального простору трудомісткість побудови функції корисності навіть в адитивному вигляді різко зростає. А при складнішій структурі переваг ЛПР відшукання адекватноїU(Y) стає дуже проблематичним. Незважаючи на те що є ціла низка добре розроблених процедур побудови функції корисності (наприклад, Р. Кіні та Х. Райфа) розглянутий підхід до вирішення багатокритеріальних завдань знаходить обмеженезастосування. І насамперед це пов'язано з необхідністю тривалої та напруженої роботи з ЛПР. А як відомо, керівники – народ зайнятий, та й далеко не всі з них можуть висловлювати несуперечливі судження. Проблема багаторазово ускладнюється у ситуаціях групового ухвалення рішень. У той самий час слід зазначити головне достоїнство методу: функція корисності найповніше й адекватно відбиває систему цінностей ЛПР і дозволяє щодо просто шукати рішення, найкраще (і тому сенсі оптимальне) для ЛПР з допомогою однієї стандартної завдання оптимізації.

Рішення на основі лексикографічного впорядкування критеріїв Як і в попередньому підході, переваги ЛПР виявляються до пошуку найкращого рішення. Метод застосовний, якщо для ЛПР прийнятно ранжування критеріїв за важливістю і при цьому кращим є те рішення, в якому краще значення важливішого критерію незалежно від значення менш важливих критеріїв.

Лексикографічне відношення визначається в такий спосіб. Для двох векторів і має відношення тоді і тільки тоді, коли виконується одна з умов:1. > 2.> (10.15)

m)>. У цьому випадку кажуть, що векторYлексикографічно більший за вектор. точок (OptlexY). Так як для будь-яких двох векторів або один лексикографічно більше за інший, або вони рівні, то безлічOptlexY, якщо воно не порожнє, містить тільки один елемент. Лексикографічно-оптимальне рішення досягається в процесі вирішення наступної послідовності задач:

1. знаходимо за умови; 2. знаходимо за умови;m) знаходимо за умови.

Процесрішення припиняється, як тільки чергове завдання із цієї послідовності дає єдине рішення. Неважко показати, що така процедура призводить до вирішення багатокритеріальної задачі, що належить парето-оптимальній множині. У той же час, якщо зупинитися на задачі, що має не єдине рішення, то не можна гарантувати, що отримане рішення є ефективним (воно може бути ефективним). У разі лінійної моделі рішення послідовності окремих завдань можна поєднати в один симплекс-процес, що значно знижує трудомісткість рішення. Для цього застосовують лексикографічний варіант симплекс-методу.

У цьому методі кожному критерію відповідає свій ряд відносних оцінок (i-індекс критерію,j-індекс змінної). Рядки розташовуються в порядку зменшення пріоритетів критеріїв. Спочатку симплекс-перетворення виконуються. При досягненні оптимального рішення за 1-м критерієм ( ) виявляють нульові оцінки небазових змінних. Якщо таких немає, то рішення єдине та лексикографічна оптимізація завершується. Якщо вони є, то в рядку в стовпцях із виділеними нульовими шукають негативні оцінки. Небазова зміннаxs, на яку а 0). Насправді частіше використовують значенняр=2. Відповідно до теореми 5 мінімізація такої функції призводить до ефективного рішення. Як і раніше, доцільно використовувати відхилення у відносних одиницях, для чого вираз у квадратних дужках (10.20) можна розділити на.

Цільове програмування (ЦП)

Цільове програмування застосовується в основному для вирішення лінійних багатокритеріальних завдань, але може бути використане і в нелінійних задачах. Принципова відмінність ЦП від вищерозглянутих підходів – зміну концепції мети. Замістьмаксимізації (мінімізації) критеріїв ставиться завдання оптимального наближення до бажаних значень критеріїв, які називають також рівнями домагань ЛПР. Таким чином, ці значення, що позначаються далі як, і є метою, до якої слід прагнути. Якщо в методі головного критерію обмеження на критерії (10.16) можуть призводити до нерозв'язності задачі, то в ЦП, як буде показано далі, бажані значення, якими б вони не були, не можуть стати причиною нерозв'язності. Домагання ЛПР можуть бути виражені по-різному в залежності від змісту критерію: 1) не менше; 2) не більше; 3) одно;

4) належати діапазону [].

Як правило, безліч рішень, на якому досягаються одночасно всі рівні домагань, не перетинається з допустимою множиною. У таких випадках воно називаєтьсяутопічним. Зауважимо, що утопічна безліч рішень не обов'язково має бути непустою. У той же час утопічна множина в критеріальному просторі порожньою бути не може.

При цільовому програмуванні змінюється модель завдання:

- до вихідних умов завдання додаються звані цільові обмеження, що відбивають рівні домагань;

- з цільовими обмеженнями в модель вводяться нові змінні, які мають сенс відхилень від бажаних значень вихідних критеріїв;

- критерій у моделі ЦП будується як функція нових змінних.

Нехай, наприклад, вихідне завдання містить 4 критерії і ЛПР висуває за ними різні варіанти домагань:

Тоді цільові обмеження матимуть вигляд:

, , ,

, , .

Де - Змінні-відхилення, що характеризують недосягнення, - Змінні-відхилення, що означають перевищення. Усі ці відхилення небажані. Тому в моделі ЦП мета виражається мінімізацією змінних-відхилень. Оскільки число цих змінних більше одиниці, ми знову маємо багатокритеріальну завдання, у якій роль критеріїв відіграють змінні. Очевидно, що для її вирішення можуть бути застосовані способи, описані вище:

- лінійна згортка

- мінімаксний пакунок

- Квадратна згортка (аналог (10.20))

Якщо вихідна модель завдання лінійна, то моделі ЦП у всіх випадках, крім останнього, також лінійні.

Принциповою особливістю цільових Обмежень і те, що де вони звужують вихідну областю, навпаки, розширюють, переводячи їх у простір рішень більшої розмірності ( з допомогою зміннихdi). Тому вони не можуть бути причиною нерозв'язності задачі. Остання властивість випливає також з того, що на змінні відхилення не накладається вимога рівності нулю, а значить, завжди знайдуться такі невід'ємніdi, які забезпечать виконання цільових обмежень.