Методи розв’язання систем нелінійних рівнянь

1) Метод підстановки.

Ідея методу.Вибирається рівняння, в якому одна із змінних найбільш просто виражається через інші змінні. Отримане вираз цієї змінної підставляється в рівняння системи, що залишилися.

b) Комбінування коїться з іншими методами.

Ідея методу. Якщо метод прямої підстановки не застосовний на початковому етапі рішення, використовуються рівносильні перетворення систем (почленное складання, віднімання, множення, розподіл), та був безпосередньо пряму підстановку.

2) Метод незалежного вирішення одного з рівнянь.

Ідея методу. Якщо системі міститься рівняння, у якому перебувають взаємно зворотні висловлювання, то вводиться нова змінна і щодо її вирішується рівняння. Потім система розпадається кілька більш простих систем.

Розв'язати систему рівнянь

Розглянемо перше рівняння системи:

Зробивши заміну , де t ≠ 0, отримуємо

Повертаючись до старих змінних, розглянемо два випадки.

Коріння рівняння 4у 2 – 15у – 4 = 0 є у1 = 4, у2 = — 1/4 .

Корінням рівняння 4х2 + 15х - 4 = 0 є х1 = - 4, х2 = 1/4.

3) Зведення системи до об'єднання більш простих систем.

a) Розкладання на множники способом винесення загального множника.

Ідея методу.Якщо одному з рівнянь є загальний множник, це рівняння розкладають на множники і, враховуючи рівність виразу нулю, переходять до розв'язання більш простих систем.

b) Розкладання на множники через розв'язання однорідного рівняння.

Ідея методу.Якщо одне з рівнянь є одноріднимрівняння ( , то вирішивши його щодо однієї зі змінних, розкладаємо на множники, наприклад: a(x-x1)(x-x2) і, враховуючи рівність виразу нулю, переходимо до вирішення більш простих систем.

Вирішимо першу систему

Ідея методу.Якщо в системі є вираз, що являє собою добуток змінних величин, то застосовуючи метод алгебраїчного додавання, отримують однорідне рівняння, а потім використовують метод розкладання на множники через рішення однорідного рівняння.

4) Метод алгебраїчного складання.

Ідея методу.В одному з рівнянь позбавляємося однієї з невідомих, для цього зрівнюємо модулі коефіцієнтів при одній зі змінних, потім виробляємо або почленное складання рівнянь, або віднімання.

5) Метод множення рівнянь.

Ідея методу.Якщо немає таких пар (х;у), при яких обидві частини одного з рівнянь звертаються в нуль одночасно, то це рівняння можна замінити твором обох рівнянь системи.

Розв'яжемо друге рівняння системи.

Нехай = t, тоді 4t 3 + t 2 -12t -12 = 0. Застосовуючи слідство з теореми про коріння багаточлена, маємо t1 = 2.

Р(2) = 4∙2 3 + 2 2 – 12∙2 – 12 = 32 + 4 – 24 – 12 = 0. Понизимо ступінь багаточлена, використовуючи метод невизначених коефіцієнтів.

4t 3 + t 2 -12t -12 = (t - 2) (at 2 + bt + c).

4t 3 +t 2 -12t -12 = at 3 + bt 2 + ct - 2at 2 -2bt - 2c.

4t 3 + t 2 - 12t -12 = at 3 + (b - 2a) t 2 + (c -2b) t - 2c.

Отримуємо рівняння 4t 2 + 9t + 6 = 0, яке немає коренів, оскільки D = 9 2 — 4∙4∙6 = -15 2 + у 2 = (х + у) 2 – 2ху = а 2 – 2в; х 3 + у 3 = (х + у) (х 2 - ху + у 2) = а (а 2 -3в);

х 2 у + ху 2 = ху (х + у) = ав; (х +1)∙(у +1) = ху +х +у+1 =а + +1;

10) «Кордонні завдання».

Ідея методу.Рішення системи виходять шляхом логічних міркувань, пов'язаних зі структурою області визначення або безлічі значень функцій, дослідження знака дискримінанта квадратного рівняння.

Особливість цієї системи в тому, що кількість змінних у ній більша за кількість рівнянь. Для нелінійних систем така особливість часто є ознакою «граничного завдання». Виходячи з виду рівнянь, спробуємо знайти безліч значень функції, яка зустрічається і в першому, і в другому рівнянні системи. Так як х 2 + 4 ≥ 4, то з першого рівняння випливає, що

Відповідь (0;4;4), (0;-4;-4).

11) Графічний метод.

Ідея методу. Будують графіки функцій у системі координат і знаходять координати точок їх перетину.

1) Переписавши перше рівняння систем у вигляді у = х 2 приходимо до висновку: графіком рівняння є парабола.

2) Переписавши друге рівняння систем як у =2/х 2 , приходимо висновку: графіком рівняння є гіпербола.

3) Парабола і гіпербола перетинаються в точці А. Точка перетину лише одна, оскільки права гілка параболи служить графіком зростаючої функції, а права гілка гіперболи – спадною. Судячи з побудованої геометричної моделі, точка А має координати (1;2). Перевірка показує, що пара (1; 2) є розв'язком обох рівнянь системи.