Міра Лебега в R^n
Остання теорема свідчить, що [math]v[/math] — міра на [math]\mathcal[/math] .
Застосуємо до обсягу осередків процес Каратеодорі. У результаті [math]v[/math] буде поширено на [math]\sigma[/math] -алгебру множин [math]\mathcal\subset 2^^n> [/ Math] .
| Визначення: |
| Отримана міра [math] \ lambda_n [/ math] - [math] n [/ math] -мірнаміра Лебега(можна просто [math] \ lambda [/ math]). |
| Визначення: |
| Безліч [math]E\in\mathcal[/math] -вимірні по Лебегу. |
Мета цього параграфа - усунути структуру множини, що вимірюється за Лебегом. Підемо від простого до складного, базуючись на загальному критерії [math]\mu^*[/math]-вимірності і на тому, що [math]\mathcal[/math] - [math]\sigma[/math]-алгебра.
Виміряні по Лебегу безлічі [ред.]
[math]\forall\bar x \in \mathbb^n[/math] позначимо за [math]\Pi_p = [\bar x - \frac1p, \bar x + \frac1p)[/math]
Тоді [math]\ = \bigcap\limits_^\infty \Pi_p[/math]
За монотонністю міри, [math] \ lambda ( bar x) \ leq \ lambda \ Pi_p = v ( \ Pi_p) = \ left ( \ frac
\right)^n \xrightarrow 0[/math]
Значить, [math] \ lambda ( bar x) = 0 [/ math] . Отже, міра точки дорівнює нулю.
[math]E = \[/math] — трохи більше, ніж лічильна безліч точок. Тоді [math] \ lambda E = \ sum \ limits_j \ lambda \ bar x_j = 0 [/ math]
Значить, будь-яка лічильна безліч точок вимірна і нульмерна.
Візьмемо [math] I = [0; 1)[/math] , [math]\lambda I = 1[/math] , [math] E [/math] - всі раціональні числа на [math] I [/math] . [math] E [/math] - лічильне, всюди щільне. Тоді [math] \lambda E = 0[/math] , а [math] \lambda \overline E = 1 - \lambda E = 1 [/math] . Тобто для ірраціональних чисел міраЛебега — 1. Це, у певному сенсі, парадоксальний результат, тому що штучних об'єктів, які ми визначили на початку всього курсу матаналізу, виявилося жахливо, неймовірно, неймовірно багато порівняно з раціональними числами, які ми пізнаємо.
| Твердження: |
Якщо взяти довільний паралелепіпед в [math]\mathbb^n[/math] , то, за рахунок безперервності об'єму, як функції точок паралелепіпеда, ми можемо будувати і комірку в ньому, і комірку, що включає його (причому обсяг комірок відрізняється на [math] ]\varepsilon[/math] ). Значить, паралелепіпед теж виміряємо. Розглянемо відкрите безліч у [math]\mathbb^n[/math] . Воно - об'єднання відкритих куль, чи безліч, що разом із кожною точкою містить і відкриту кулю із центром у цій точці.
| Твердження: |
Клас вимірних множин є [math] \ sigma [/ math] -алгебра. Замкнене безліч є доповненням до відкритого, значить, воно також виміряне.
Логіка міркувань у багатьох наступних теоремах буде така: з множин, вимірність яких ясна, шляхом лічильного числа операцій перетину та об'єднання покроково будуємо об'єкт, що цікавить нас.
Теорема про зовнішню міру Лебега [ред.]
Оскільки [math] E \subset G [/math] , то, за монотонністю зовнішнього заходу, [math] \lambda^* E \le \lambda^* G = \lambda G [/math] . Переходячи до нижньої грані, отримуємо [math] \lambda^*E \le \inf\limits_ \lambda G [/math] .
Доведемо тепер протилежну нерівність. Як завжди, розглядатимемо випадок [math] \lambda^* E \lt +\infty [/math] , для [math] \lambda^* E = +\infty [/math] воно тривіальне.
Зовнішній захід Лебега породжена функцією обсягу на півкільці осередків. Значить, [math] \forall \varepsilon \gt 0: E \subset \bigcup\limits_ A_m [/math] - об'єднання осередків, таке, що [math] \sum\limits_ v(A_m) \lt \lambda^* E + \ Varepsilon [/ Math] .
За рахунок безперервності обсягу для будь-якого [math] A_m [/math] існує [math] B_m [/math] - відкритий паралелепіпед, такий, що [math] A_m \subset B_m [/math] і [math] v(B_m) \lt v(A_m) + \frac[/math].
[math] A_m \subset B_m [/math] , тому [math]E \subset \bigcup\limits_m B_m = G, G [/math] - відкритебезліч.
[math] \sum\limits_m v(B_m) \le \sum\limits_m v(A_m) + \varepsilon \sum\limits_m \frac1 = \sum\limits_m v(A_m) + \varepsilon [/math]
Як ми раніше з'ясували, [math] \sum\limits_ v(A_m) \lt \lambda^* E + \varepsilon [/math] , тому, [math] \sum\limits_m v(B_m) \lt \lambda^* E + 2\varepsilon [/math] .
Оскільки [math] G = \bigcup\limits_m B_m [/math] , то [math] \lambda G \le \sum\limits_m v(B_m) [/math] .
Отже, для будь-якого [math] \varepsilon \gt 0 [/math] є відкрите [math] G [/math] , що містить [math] E [/math] , таке, що [math] \lambda G \lt \lambda ^* E + 2\varepsilon [/math] .
При [math] \varepsilon \rightarrow 0 [/math] отримуємо потрібну нерівність.
Виведемо низку важливих наслідків із цієї теореми.
Далі нам знадобляться множини [math] \ Delta_p = [-p; p) \times [-p; p) \times \ldots \times [-p; p), p \in \mathbb N [/math]
Неважко помітити, що [math]\mathbb R ^n = \bigcup\limits_^ \Delta_p [/math] .
| Теорема: |
Спочатку доведемо перший пункт теореми.
Якщо міра [math] E [/math] кінцева, то просто скористаємося щойно доведеною теоремою:
[math] \forall \varepsilon \gt 0 [/math] є відкрите [math] G [/math] : [math] \lambda G - \lambda E \lt \varepsilon[/math] . За адитивністю міри, [math] \ lambda G - \ lambda E = \ lambda (G \ setminus E) [/ math] , і необхідне виконано.
Розглянемо тепер випадок, коли міра [math]E[/math] нескінченна:
[math]E = \bigcup\limits_^ (E \cap \Delta_p) [/math] , для будь-якого [math]p[/math] вірно: [math]\lambda (E \cap \Delta_p) \lt \lambda (\Delta_p)\lt \infty[/math] .
Випадок кінцевої міри було доведено, тому [math] \forall \varepsilon [/math] можна взяти [math] G_p [/math] , таке, що [math] E \cap \Delta_p \subset G_p, \lambda(G_p \setminus (E \cap \Delta_p)) \lt \frac [/math] .
Візьмемо як необхідну множину [math]G[/math] об'єднання всіх [math]G_p[/math] : [math]G = \bigcup\limits_^ G_p[/math] відкрито і містить [math]E[/math] .
[math]G \setminus E \subset \bigcup\limits_^ (G_p \setminus (E \cap \Delta_p))[/math] .
Тоді, за якістю заходу, [math] lambda (G setminus E) \ le \ sum \ limits_^ (G_p \ setminus (E \ cap \ Delta_p)) \ le \ sum \ limits_^ \ frac = \ Varepsilon [/ math].
Другий пункт доводиться переходом до доповнень:
Нехай [math]\overline E = \mathbb R ^n \setminus E[/math] , по першому пункту, [math] \forall \varepsilon [/math] є відкрите [math] G:\ \overline E \subset G , \lambda(G \setminus \overline E) \lt \varepsilon [/math] .
Нехай [math]F = \overline G[/math] . За визначенням, [math]F[/math] - замкнута множина. Оскільки [math]\overline E \subset G[/math] , то [math]\overline G \subset E,\lambda(Esetminus F) = lambda (Gsetminusoverline E) \lt \ varepsilon[/math] , та необхідні умови виконані.
| Теорема: |
| Доказ: |
| [math]\triangleright[/math] |
| Для доказу достатньо скористатися другим пунктом попередньої теореми та спрямувати [math] \varepsilon[/math] до нуля. |
| [math]\triangleleft[/math] |
Якщо [math] A = \bigcup\limits_m F_m [/math] (усі [math]F_m[/math] - замкнуті), воно називається безліччю типу [math] F_ [/math] .
Якщо [math] B =\bigcap\limits_m G_m [/math] (всі [math]G_m[/math] - відкриті), воно називається безліччю типу [math] G_ [/math] .
Такі множини також є вимірними за Лебегом, як лічильне об'єднання (перетин) вимірних множин (раніше показувалося, що відкриті та замкнуті множини виміряні).
| Теорема: |
Скористаємося другим пунктом передостанньої теореми: нехай [math] \varepsilon_m = \frac1m [/math] , тоді братимемо [math] F_m \subset E: \lambda(E\setminus F_m) \lt \frac1m [/math] .
Нехай [math] A = \ bigcup \ limits_m F_m [/math], за визначенням, [math] A [/math] - безліч типу [math] F_ [/math].
Тоді [math] B = E \setminus A, B \subset E \setminus F_m\forall m [/math]