Місячні та місячно-сонячні календарі
Математична теорія місячних та місячно-сонячних календарів. Основні календарні цикли.Місяць і календар.На найраніших стадіях розвитку людського суспільства знадобилося створити одиницю виміру часу більшу, ніж добу . Така одиниця була знайдена у зміні місячних фаз. Тому не дивно, що більшість древніх народів спочатку календар створювався з урахуванням виявленої періодичності у русі Місяця. У цьому вся не останню роль зіграло те, що у країнах Сходу культ Місяця мав велике значення у первісної релігії.
Астрономи Сходу, особливо вавилонські, досягли великих успіхів у вивченні Місяця і, зокрема, у визначенні часу між двома новолуннями. Цей період згодом отримав назву синодичного місяця, що походить від грецького слова, що означає "сходження", тому що під час молодика Місяць ніби сходиться із Сонцем.
Точево фіксувати момент молодика можна тільки під час сонячних затемнень, а вони спостерігаються рідко. Тому довелося вибрати фазу, близьку до молодика, а саме спостерігати першу появу місячного серпа після молодика. Такий момент греки назвали неоменією. Молодий Місяць може спостерігатися в сутінках за кілька хвилин до заходу. Той день, коли спостерігався перший захід молодого Місяця, і приймався за початок календарного місяця у всіх народів, які вели рахунок часу за місячним календарем. Проміжок часу від молодика до неоменіі залежить як від астрономічних, і від метеорологічних причин. У хронології він приймається в середньому рівним 36 годин. Неомені ретельно спостерігали багато народів стародавнього світу: вавилоняни, євреї, греки, римляни, індійці та деякі інші.
Ттисячоліття тому було встановлено, що в проміжкуміж двома послідовними неоменіями завжди або 29 або 30 днів. Тому тривалість синодичного місяця спочатку було визначено 29 1/2 днів, а місяці календарного року по черзі чергувалися по 29 і 30 днів. Перші їх називалися порожніми, а другі - повними.
або 29 днів 12 годин 44 хвилин 3,0 секунди.
Ето значення синодичного місяця відрізняється від величини 29,53058818, прийнятої в сучасній астрономії, всього на 0,2 секунди. Для побудови місячного календаря такої точності не потрібно і достатньо обмежитися п'ятьма десятковими знаками: 29,53059 середньої сонячної доби.
Теорія місячних календарів.
Ннеобхідність в одиниці часу більшої, ніж місяць, призвела до місячного року, що складається з 12 місячних місяців. Точна тривалість астрономічного місячного року 354,36706 діб. Приблизна довжина місячного року
29,5 × 12 = 354 дні.
Всі непарні місяці (1, 3, 5, 7, 9 і 11) містять по 30 днів, а парні (2, 4, 6, 8, 10 та 12) - по 29 днів. Тоді в календарному році буде теж 354 дні, оскільки
6 × 30 + 6 × 29 = 354.
Ошибка, яку ми вводимо, приймаючи місяці рівними 29 і 30 дням, поступово накопичуватиметься і відсуватиме перше число місяця, а також перше число місячного року від молодика.
Основник ісламу Мухаммед (Магомет), який узаконив місячний календар для правовірних мусульман, наказав кожен новий місяць, як і кожен новий рік, обов'язково починати в молодик, вірніше, в невміння. Але як виконати цю вимогу? Адже щорічно фази Місяця зміщуються на 0,36 706 діб. За 10 років помилка складе більш ніж 3,67 дня, і молодик піде вперед. Щоб уникнути цієї неприємності, було вирішено періодично виправляти місячнийкалендар, додаючи до деяких місячних років зайву добу, тобто збільшувати рік до 355 днів. Такі роки, аналогічно подовженим рокам сонячного календаря, називатимемо високосними місячними роками.
Ддля вирішення задачі про вибір системи високосу важливо було підібрати таке ціле число місячних років, яке найкраще наближалося б до цілої кількості днів. Таке завдання найпростіше може бути вирішено в такий спосіб. Тривалість місячного астрономічного року 354,36706 послідовно множитимемо на числа 2, 3, 4 і т. д. до тих нір, поки отриманий твір не підійде можливо ближче до цілого числа.
Ннайбільш вдалими співвідношеннями є такі:
354,36706 × 8 = 2834,936,
354,36706×30 = 10631,012.
ТТільки ці дві рівності і отримали практичне застосування у всіх діючих місячних календарях. Перша рівність, тобто 8-річна тривалість, одержала назву турецького циклу, а друга, 30-річна періодичність, - арабського циклу.
"Турецький цикл" місячного календаря.
Вцьому циклі 8 місячних років по 354,36706 дня містять приблизно 2835 днів. Але 8 простих місячних років по 354 дні містять лише 2832 дні. Тому для того, щоб через 8 років молодик знову збігся з початком місячного календарного року, необхідно додати три доби, тобто три роки циклу зробити високосними, що складаються з 355 днів. Тоді отримаємо нове співвідношення:
354 × 5 + 355 × 3 = 2835 днів.
Утакому циклі високосні роки треба розподілити так, щоб до кінця кожного року помилка не перевищувала половини дня. Це досягається тільки в тому випадку, якщо високосні роки припадуть на 2-й, 5-й та 7-й роки кожного восьмиріччя.
Іцікаво відзначити, що період у2835 днів складається з цілого числа тижнів, внаслідок чого до кінця періоду молодика падають знову на ті ж дні тижня. Це дасть можливість скласти 'вічний' місячний календар, тобто такі таблиці, які в кожному 8-річному періоді показують відповідність чисел місяця та днів тижня. Такі таблиці по-турецьки називаються "рузнаме", що означає "книга днів".
'Арабський цикл' місячного календаря.
Вцьому циклі 30 місячних років по 354,36706 дня містять приблизно 10631 день. Але 30 простих років по 354 дні містять лише 10 620 днів. Тому за кожні 30 років молодик запізнюватиметься майже точно на 11 днів. Очевидно, доведеться до 11 років кожного 30-річного циклу додавати по одному дню. Тоді 19 простих років утримуватимуть до 354 днів і 11 високосних років по 355 днів.
Прі визначенні того, які роки вважати високосними в цьому календарі, було прийнято те ж правило, що і при розподілі високосних років в турецькому циклі, а саме: помилка календаря до кінця кожного календарного року не повинна перевищувати 0,5 дня, якщо припускати, що на початку циклу вона дорівнювала нулю. З огляду на це найбільш доцільно вважати високосними роками наступні роки 30-річного циклу: 2-й, 5-й, 7-й, 10-й, 13-й, 16-й, 18-й, 21-й, 24-й , 26-й та 29-й.
Слід ще мати на увазі, що при такому чергуванні високосних років дотримується обов'язкова вимога, щоб перше число кожного місяця і початок нового року добре збігалося з неоменія, тобто днем першої появи на небі нового Місяця.
Древньогрецький астроном Клеостат у VI ст. до зв. е. вперше запропонував застосовувати 8-річний цикл – октаетериду. Він заснований на наступній рівності:
8сонячних років = 2922 дням.
Нпро таку ж кількість днів містилося в 99 місячнихмісяцях, у яких 48 було порожніх, тобто по 29 днів, і 51 повний, тобто по 30 днів. Це призвело до визначення року 365,25 дня, а синодичного місяця - 29,515 дня.
Тоскільки дійсна тривалість 99 синодичних місяців становить 2923,53 дні, то помилка становила 1,53 дні 8 років, або приблизно 3 дні 16 років.
Опроте найбільшого поширення набула рівність, де відповідним дробом є 7/19. На ній базується один із основних календарних циклів, який отримав назву циклу Метона.
Считаючи, як у юліанському календарі, рік рівним 365 1/4 діб, маємо такі рівності:
19 сонячних років = 6939,750 дня, 235 місячних місяців = 6939,689 дня.
Округла до цілого числа днів, отримуємо важливу рівність:
19 сонячних років = 235 місячних місяців = 6940 діб.
Тоскільки календарні місяці можуть мати або 29, або 30 днів, то можна встановити таку цікаву залежність: якщо взяти 110 порожніх місяців (по 29 днів) та 125 повних місяців (по 30 днів), то в сумі вони матимуть 6940 днів. Але, як ми щойно бачили, така ж кількість днів міститься у 19 сонячних роках.
Кяк найкраще розподілити всі 235 місяців у 19-річному сонячному циклі? Здавна прийнято рахувати 12 років по 12 місячних місяців і 7 років - по 13 місяців. Ці вставні, тобто тринадцяті місяці отримали назву `емболісмічних` - від грецького слова, що означає `вставка`.
Ттепер залишається правильно розподілити 7 високосних років у нашому 19-річному циклі. Щоб найкраще узгодити зміну місячних фаз із рухом Сонця, давні хронологи перш за все звернули увагу на відповідні дроби 1/3; 3/8; 4/11; та 7/19. Знаменники цих дробів підказали, що високосними роками мають бути3-й, 8-й, 11-й та 19-й роки циклу. Інші високосні роки зайняли місця 6, 14 і 17.
Древньогрецький астроном Каліп у 330 р. до н. е. удосконалив місячно-сонячний календар, запропонувавши новий календарний цикл. Він знав, що в 19-річному сонячному циклі не 6940 днів, а лише 6939, 75. Тому, щоб врахувати помилку, що залишилася, Каліп вирішив утвердити цикл:
19 × 4 = 6939,75 × 4 = 27 759 днів.
Значит, у 76 сонячних роках 27 759 днів. Але в такому циклі має бути вже не 235 місячних місяців, а 940. Цю кількість місяців Каліп запропонував розподілити так: 499 повних (по 30 днів) та 441 порожній (по 29 днів).
Ета дуже вдала поправка призвела до уточнення тривалості місячного місяця, середнє значення якого дорівнювало 27 759/940 = 29,53058 діб, тобто всього на 0,00026 діб, або на 22 секунди більше прийнятого в даний час.
Днайточніше уточнення місячно-сонячних календарних циклів пов'язане з ім'ям Гіппарха. Приблизно за 125 років до зв. е. він відкрив явище прецесії - переміщення точки весняного рівнодення назустріч річному руху Сонця, через що відбувається "попередження рівнодення". Гіппарх встановив, що за 150 років рівнодення змістилося приблизно на півдоби. Тому він зробив правильний висновок, що довжина сонячного року дорівнює не 365,25 діб, а на кілька хвилин коротше. Гіппарх вважав, що довжину чотирьох періодів Каліппу треба вкоротити на один день. Тоді виходила рівність: 304 (76×4) сонячних років = 3760 (940×4) місячним місяцям – 27 759 × 4 – 1 = 111 035 дням.
Ета важлива рівність дозволила Гіппарху отримати більш точні значення не тільки синодичного місяця, а й тропічного року. Запропонована ним поправка призводила до такого висновку:
1 сонячний рік =365,24671 дня,
1 місячний місяць =29,53059 дня.
Із цих двох рівностей можна зробити висновок, що величина тропічного року вже за часів Гіппарха була визначена з точністю до 6,5 хв., а середня тривалість синодичного місяця - з точністю, з якою вона використовується в сучасній астрономії.
Сслід зазначити, що поправка Гіппарха ніколи не застосовувалася в календарних системах, а поправка Каліпа застосовувалася лише давньогрецькими астрономами. Найбільшого поширення у різних календарних системах набули цикли 8-річний та 19-річний. Саме вони докладно викладені у знаменитій праці "Пам'ятники минулих поколінь", написаній у 1000 р. видатним хорезмійським ученим-енциклопедистом ал-Біруні (973-1048).
Лунно-сонячні календарні системи застосовувалися у Вавилоні, Стародавньому Китаї, Юдеї, Стародавній Греції та Стародавньому Римі. Нині місячно-сонячний календар зберігся у державі Ізраїль, і навіть застосовується при обчисленні пасхалій.