Моделювання хаотичних процесів

Поняття катастрофи

Снігова лавина, розрив кульки, що надувається, блискавка – приклади процесів у яких є загальне – вони відбуваються в результаті поступової зміни параметрів, що завершується процесом, що проходить дуже швидко і якісно змінює систему. Насправді, на схилі гори поступово накопичується сніг. Він нерухомий. І раптом, в одну мить, багатотонна снігова маса зривається з місця і швидко спускається вниз. Інший приклад. Ви надуваєте гумову кульку, її розмір плавно збільшується. І раптом кулька лопається. Блискавка також ударяє раптово, коли напруженість електричного поля між хмарою та землею досягає критичного значення. Можна навести ще десятки подібних прикладів. Катастрофами називають стрибкоподібні зміни, що виникають у вигляді раптової відповіді системи на плавну зміну зовнішніх умов. В даний час розроблена та швидко розвивається математична теорія, що вивчає подібні процеси. Її називаютьматематичною теорією катастроф(не плутати з еволюційною теорією кастастроф Кюв'є).

Структурна стійкість та нестійкість функцій

Один із аспектів завдань на екстремум, який тривалий час залишався поза увагою математиків, тісно пов'язаний із сучасним поняттям структурної стійкості функцій. Якщо розглянемо, наприклад, функції y = x 2 , y = x 3 і y = x 4 , всі вони мають нульову першу похідну початку координат (у разі говорять, що x = 0 - критична точка). Перша і третя функції мають у критичній точці мінімальне значення, а друга - точку перегину, й у традиційних рамках завдань на екстремум це відмінність представляється найважливішим. Але виберемо дещо іншу точку зору. Спробуємо злегка «ворушити» функції, що розглядаються, ввівши слабкі обурення: 1) y = x 2- ех; 2) y = x 3 - ех; 3) y = x 4 - eх 2 де параметр e може бути як завгодно малим за величиною. В результаті такого обурення у випадку (1) жодних принципових змін не відбувається: зберігається єдина критична точка, яка лише зміщена на малу величину x0 = e/2, причому значення функції в цій точці (єдиний мінімум) змінюється на величину у0 = - e2 /4. У другому та третьому випадках ситуація зовсім інша. Друга функція, на яку початок координат було точкою перегину, набуває дві екстремальні точки одна з яких відповідає мінімуму, а інша - максимуму. Функція y = x 4 , що мала єдиний мінімум на початку координат, внаслідок малого ворушіння має три критичні точки. При цьому початок координат стає точкою максимуму, а в двох нових критичних точках, скільки завгодно близьких до точки х = 0, функція набуває мінімальних значень.

Побудова математичної моделі будь-якого фізичного процесу пов'язані з зневагою малими членами. У першому прикладі це цілком виправдано: облік малого відхилення функції від квадратної параболи призводить не до якісним, а до малих кількісних змін. У другому та третьому прикладах поведінка при обліку малих поправочних членів якісно інша. Таким чином, функції y = x 3 і y = x 4 , незважаючи на те, що друга з них має екстремум, а перша ні, поєднує загальну властивість, яку, не вдаючись до суворих визначень, назвемоструктурною нестійкістю. Цей термін відбиває те, що з малому зміні структури функції її поведінка навколо критичної точки різко змінюється. Навпаки, функція y = x2 структурно стійка.

Властивість структурної стійкості (нестійкості) функції не було включено до арсеналу математичнихпонять до 30-х років XX століття, коли воно вперше було сформульовано А.А. Андроновим (1901-1952). Через кілька десятиліть поняття про структурну стійкість стало одним із ключових для теорії катастроф.

Біфуркації стаціонарних станів

Здавалося б, у зв'язку зі сказаним структурно нестійкі у критичних точках функції непридатні до описи реальності. Але, як правило, функції, що виникають у фізичних додатках, містять деякі параметри, значення яких можуть змінюватися в певному діапазоні (подібно до параметра e в наших прикладах). У таких випадках ми маємо справу із сімейством функцій, що залежать від параметра. Може статися, що з зміні останнього неминуче досягається значення (у прикладі e = 0), відповідне структурно нестійкої критичної точці, що цим набуває цілком реального сенсу. Більше того, саме ця точка, будучи однією з реалізацій сімейства критичних точок, є найважливішою, оскільки з нею пов'язані якісні зміни в поведінці системи (подібні до описаних вище).

Аналіз сімейств функцій у зв'язку з завданнями мінімум і максимум також став предметом загальноматематичних побудов ні у XVIII, ні першій половині ХІХ століття. Лише великий французький математик А. Пуанкаре побачив у такому аналізі загальноматематичну проблему. У зв'язку з його формулюванням цієї проблеми виникло поняття "біфуркація", що також стало пізніше одним із ключових у теорії катастроф. Термін "біфуркація" буквально означає "роздвоєння", але зазвичай застосовується в ширшому значенні для позначення різноманітних якісних перебудов різних об'єктів при зміні параметрів, від яких вони залежать. У прикладі із сімейством y = x 4 - ех 2 значення параметра e = 0 відповідає також точцібіфуркації, оскільки при переході e від негативних значень до позитивних єдиний стійкий стаціонарний стан х = 0, стаючи нестійким, доповнюється парою стійких станів. = 0 відбувається народження пари таких станів, один з яких стійкий, а другий нестійкий. В обох випадках значення e = 0 відповідають точкам біфуркації, хоч і різних типів.

Теорія катастроф визначає сферу існування різних структур, межі їх стійкості. Для вивчення динаміки систем необхідно знати, яким саме чином нові рішення рівнянь «відгалужуються» від відомого рішення. Відповідь такі питання дає теорія біфуркацій (розгалужень), тобто виникнення нового рішення при критичному значенні параметра. Момент переходу (катастрофічний стрибок) залежить від властивостей системи та рівня флуктуацій.

У реальних умовах при поглибленні нерівноважності у відкритій системі виникає певна послідовність біфуркацій, що супроводжується зміною структур. Типовим прикладом такого сценарію є розвиток турбулентності з типами, що чергуються, все більш ускладнюються рухів. Стан системи в момент біфуркації є нестійким і нескінченно мале вплив може призвести до вибору подальшого шляху. Фінальним станом еволюціонують фізичних систем є стан динамічного хаосу. Ілюстрацією переходу до нього є логістичне рівняння:

Для наочності розглянемо біологічне трактування цього рівняння: ізольовано живе населення особин нормованої чисельністю Xn. Через рік з'являється потомство чисельністю Xn+1. Зростання популяції описується першим членом правої частинирівняння - СХn де коефіцієнт визначає швидкість зростання і є визначальним параметром. Зменшення (за рахунок перенаселеності, нестачі їжі тощо) визначається другим, нелінійним членом - (СХn) 2 . Залежність чисельності популяції від параметра З наведено малюнку. Лінії показують значення Xn при великих n (n-oo). При З

• Option Explicit
• Dim k, it, n As Integer
• Dim x, c As Single

• Private Sub cl_Click()
• Line (5, 5)-(705, 605), RGB(0, 0, 0), BF
• k = 0
• End Sub

• Private Sub Form_Activate()
• Line (5, 5)-(705, 605), RGB(0, 0, 0), BF
• End Sub

• Private Sub start_Click()
• it = Val(Text1.Text)
• If it > 1000 Then it = 1000: Text1.Text = "1000"
• k = k + 1
• If k > 4 Then Line (5, 5)-(705, 605), RGB(0, 0, 0), BF: k = 1
• For c = 1 To 5 Step 0.0005
• x = 0.999
• для n = 1 To it
• x = c * x * (1 - x)
• If x

  Результати роботи програми при різних значеннях n = 5, 7, 9, 11, 100:

  
  
  
  
  

  На останньому зображенні ясно виднобіфуркаціїта перехід процесу вхаотичний стан.

---