Момент сили щодо осі, Контент-платформа
Момент сили щодо осі
Лемма про проекції дозволяє ввести на розгляд нову характеристику сили стосовно осі. Визначення.Моментом сили F щодо осі zназивається алгебраїчна величина, що дорівнює проекції на цю вісь моменту сили щодо довільної точки зазначеної осі.
mz(F)=прzmA(F)(A належить z) (17)
Розглянемо спосіб обчислення та властивості моменту. Користуючись свавіллям вибору центру моментів на осі, виберемо як таке т. Про - проекцію точки А докладання сили на вісь z. Позначивши черезкорт осі z і застосувавши кругову перестановку в змішаному творі, запишемо
Тут враховано, що через взаємну перпендикулярність векторівkіOA,модуль творуkxOAдорівнює відстані ОА точки докладання сил до осі.
Формула показує, що:
а) Момент щодо осі дає лише складова сили, спрямована по дотичній t до кола радіусу h.
б) Знак моменту визначається знаком Cosa. З Рис.8 випливає
Рис.8 наступне правило знаків:Момент сили щодо осі позитивний, якщо з кінця осі видно, що сила прагне повернути тіло проти годинникової стрілки.
З формули (12) випливає, що момент сили щодо осі дорівнює нулю у випадку, якщо сила та вісь лежать в одній площині (a=p/2). Це відбувається, коли
1) сила паралельна осі
2) лінія дії сили перетинає вісь
Алгебраїчний момент сили щодо центру плоскої системи сил.
Система сил, розташованих в одній площині, називаєтьсяплоскою. Розташуємо в площині дії сил осі xy з початком довільної точки Про площині. У цьому випадку силистворюють момент тільки щодо осі z перпендикулярної площині дії сил. Маючи сили на площині листа, читач бачить вісь як точку O і називає момент щодо цієї осіалгебраїчним моментом сили щодо точкиO
Правило знаків: Момент позитивний, якщо видно, що сила прагне повернути тіло проти
Головний момент системи зусиль. Залежність головного моменту від центру.
Визначення:Головним моментомсистеми сил щодо центру Про називається векторна сума моментів усіх сил системи щодо цього центру.
Фактично, головний момент знаходять за його проекціями на декартові осі. Ці проекції логічно назвати головними моментами системи сил щодо осей x, y, z.
MA2=Mx2+My2+Mz2; Mx = Smx (Fk); My = Smy (Fk); Mz = Smz (Fk)
Знайдемо залежність між головними моментами щодо двох центрів А та В. Підсумовуючи отриману раніше залежність для однієї сили за всіма силами системи, отримаємо:
Тут враховано визначення головного вектора V.
Обертальна система. Пара сил.
Формула (4) показує, що у випадку головний момент залежить від центра.
Однак, якщо головний вектор системи дорівнює нулю, її головний момент не залежить від центру. Назвемо таку систему силобертальної системою.
Найпростішою обертальною системою єпарасил: система двох рівних по модулю протилежно спрямованих сил, що не лежать на одній прямій.
Відстань між лініями дії сил пари називається плечем пари.
Головний вектор сил пари очевидно дорівнює нулю, тому її головний момент не залежить від центру, називаєтьсямоментом париmі може бути знайдений як момент однієї із сил пари щодо крапкидокладання другої сили.
Момент пари перпендикулярний площині пари і спрямований убік,
звідки видно, що пара прагне повернути тіло проти годинникової стрілки.
Умови спокою дискретної механічної системи.
Механічна система складається із матеріальних точок. Вона перебуватиме у спокої, якщо кожна з точок системи перебуває у спокої. Тому логічно спочатку вивчити умови спокою матеріальної точки. Вони випливають із принципів механіки.
Принципи (аксіоми) механіки. Умови спокою точки.
Як усі точні науки, механіка базується на недоведених постулатах, що випливають із досвіду і називають аксіомами. Аксіоми, що є плодом роздумів багатьох поколінь дослідників, були остаточно сформульовані Ісааком Ньютоном в 17 столітті і тому носять його ім'я.
1.Принцип інерції Галілея
Існує система відліку, звана інерційною, в якій ізольована точка зберігає стан спокою.
Ізольованою називається точка, яка не взаємодіє з іншими точками.
Таким чином, точка залишається в спокої, поки на неї не подіє сила. Слід зазначити, що система відліку, пов'язана із Землею, не є інерційною через обертання Землі.
2.Основний принцип (другий закон Ньютона)
Прискорення матеріальної точки пропорційно діє силі.
Принцип показує, що результатом дії сили є зміна швидкості (стану) точки, і дія це тим менша, чим більша маса тіла. Надалі всі сили порівнюватимемо за прискореннями, які вони викликають. Сили, що викликають однакові прискорення, називаютьсярівнодіючими або еквівалентними.
3.Принцип рівності дії та протидії(Третій закон Ньютона). Властивості внутрішніх сил.
Сили взаємодії двох точок рівні за модулем, протилежні за напрямом і лежать на прямій, що проходить через точки.
Слід зазначити, що це сили прикладені до різних точок, і тому, у випадку не врівноважують одне одного. Якщо точки належать тому самому тілу, то сили їх взаємодії називаються внутрішніми (індексi). Оскільки всі внутрішні сили парні, то очевидно, що їх головний вектор (сума) і головний момент дорівнюють нулю.
4.Принцип незалежності дії сил
Досі питання про сенс і застосування вітерських операцій до сил залишилося відкритим. Наступний принцип дозволяє складати сили у точці тому, що додавання не змінює прискорення точки.
Прискорення точки під дією системи сил одно векторної сумі прискорень точки від кожної сили системи окремо.
а) Сили, прикладені до точки, мають рівнодіючу, рівну векторній сумі вихідних сил (правило паралелограма). Дійсно, за другою аксіомою:
Другий закон Ньютона тепер можна записати і для випадку кількох сил.
б) У спокої залишається як ізольована точка, а й точка під впливом сил, сума яких дорівнює нулю. Таким чином,необхідною та достатньою умовою рівноваги сил, прикладених до точки, є
Умови спокою довільної дискретної механічної системи
Розглянемо дискретну систему n матеріальних точок. Система перебуває у спокої, якщо всі її точки перебувають у спокої. При цьому сили, що діють на кожну точку, є рівноважними.
Позначимо через Fkе рівнодіючу зовнішніх сил, прикладених до точки з номером до, а через Fki - рівнодіючу внутрішніх сил цієї точки.З аксіом випливає, що умови
Fkе + Fki = 0 (k = 1,2, ..., n), (12)
забезпечують спокій системи та єнеобхідними та достатніми умовамирівноваги сил, прикладених до довільної дискретної механічної системи.
Необхідні умови рівноваги зовнішніх сил системи.
Якщо система перебуває у спокої, то будь-яка комбінація чи частина умов (12) виконується, отже, є необхідною, але недостатньою умовою рівноваги.
Внутрішні сили системи зазвичай невідомі, тому особливий інтерес представляє комбінація умов (12), яка виключає ці сили. Властивості парності внутрішніх сил дозволяють скласти такі комбінації.
Підсумовуючи (12) по k і враховуючи, що головний вектор внутрішніх сил дорівнює нулю, отримуємо
Векторно помноживши зліва (12) на радіус-вектор точки rk, після підсумовування отримаємо другу умову
Обидві умови стосуються тільки зовнішніх сил системи і є необхідними, але не достатніми умовами спокоюдовільної механічноїсистеми. Далі покажемо, що вони є необхідними та достатніми умовами спокою твердого тіла.