Наближене обчислення ірраціональних чисел
Наближене обчислення ірраціональних чисел - розділ Освіта, Спеціальна теорія відносності Тепер Таке Запитання: Як Звести Число В Ірраціональну Ступінь? Наприклад, н.
Тепер таке питання: як звести число до ірраціонального ступеня? Наприклад, нам хочеться дізнатися, що таке 10 2 . Відповідь у принципі дуже проста. Візьмемо замістьÖ2його наближення у вигляді кінцевого десяткового дробу - це раціональне число. Зводити у раціональний ступінь ми вміємо; справа зводиться до зведення в цілу міру та вилучення кореня. Ми отримаємонаближене значеннячисла 10 2 . Можна взяти десятковий дріб довше (це знову раціональне число). Тоді доведеться витягти корінь більшою мірою; адже знаменник раціонального дробу збільшиться, але ми отримаємо більш точне наближення. Звичайно, якщо взяти наближене значення Ö2 у вигляді дуже довгого дробу, то зведення в ступінь буде дуже важким. Як упоратися з цим завданням?
Обчислення квадратного коріння, кубічного коріння та іншого коріння невисокого ступеня — цілком доступний нам арифметичний процес; обчислюючи, ми послідовно, один за одним, пишемо знаки десяткового дробу. Але для того, щоб звести в ірраціональний ступінь або взяти логарифм (розв'язати обернену задачу), потрібна така праця, що застосувати колишню процедуру вже не просто. На допомогу приходять таблиці. Їх називають таблицями логарифмів чи таблицями ступенів, дивлячись у тому, навіщо вони призначені. Вони економлять час: щоб звести число до ірраціонального ступеня, ми не обчислюємо, а лише перегортаємо сторінки.
Хоча обчислення зібраних у таблиці значень — процедура суто технічна, проте справа ця цікава і має велику історію. Тож подивимося, як це робиться. Ми
обчислимо не тількиx=10 V 2 але вирішимо й іншу задачу: 10 x =2, або x=log102. При вирішенні цих завдань ми відкриємо нових чисел; це просто обчислювальні завдання. Рішенням будуть ірраціональні числа, нескінченні десяткові дроби, які якось незручно оголошувати новим видом чисел.
Подумаємо, як розв'язати наші рівняння. Загальна ідея дуже проста. Якщо обчислити 10 1 і 10 1/10 і 10 1/100 і 10 1/1000 і т. д., а потім перемножити результати, то ми отримаємо 10 1,414. , або 10 Ö 2 . Вчиняючи так, ми вирішимо будь-яке завдання такого роду. Однак замість 10 1/10 і т. д. ми обчислюватимемо 10 1/2 , 10 1/4 і т. д. Перш ніж починати обчислення, пояснимо ще, чому ми звертаємося до 10 частіше, ніж до інших чисел. Ми знаємо, що значення таблиць логарифмів виходить далеко за межі математичного завдання обчислення коренів, тому що
Це добре відомо всім, хто скористався таблицею логарифмів, щоб перемножити числа. З якої підстави b брати логарифми? Це байдуже; адже в основу таких обчислень покладено лише принцип, загальну властивість логарифмічної функції. Обчисливши логарифми один раз з якоїсь довільної основи, можна перейти до логарифмів з іншої основи за допомогою множення. Якщо помножити рівняння (22.3) на 61, то воно залишиться вірним, тому якщо перемножити всі числа в таблиці логарифмів на підставі b на 61, то можна буде скористатися і такою таблицею. Припустимо, що нам відомі логарифми всіх чисел на підставі b. Інакше кажучи, можна вирішити рівняння bа =сдля будь-якого с; при цьому існує таблиця. Завдання полягає в тому, як знайти логарифм цього ж числазз іншої основи, наприклад,х.Нам потрібно вирішити рівняннях а '=с.Це легко зробити , тому щохзавжди можна так:x=b t .Знайтиt,знаючихі b,просто:t=logbx.Підставимо теперх=b tдо рівняння xa' =с;воно перейде в таке рівняння: (b t ) а '=b ta ' =с. Іншими словами, твірta'є логарифмсна підставі b.Отже,a'=a/t.Таким чином, логарифми на підставіхрівні добуткам логарифмів на підставі b на постійне число 1/t.Отже, всі таблиці логарифмів еквівалентні з точністю до множення на число 1/logbx.Це дозволяє нам вибрати для складання таблиць будь-яку основу, але ми вирішили, що найзручніше взяти за основу число 10. (Може виникнути питання: чи не існує все-таки якоїсь природної основи, при якій все виглядає якось простіше? Ми спробуємо відповісти на це питання пізніше, поки всі логарифми будуть обчислюватися на підставі 10
Тепер подивимося, як складають таблицю логарифмів. Робота починається з послідовних витягів квадратного кореня із 10. Результат можна побачити в табл. 22.1. Показники ступенів записані в першому стовпці, а числа 10 S — у третьому. Зрозуміло, що 101 =10. Звести 10 в половину ступінь легко - це квадратний корінь з 10, а як витягувати квадратний корінь з будь-якого числа, знає кожен. Отже, ми знайшли перший квадратний корінь; він дорівнює 3,16228. Що дає? Дещо дає.
Таблиця 22.1 •послідовні вилучення
КВАДРАТНОГО КОРНЯ З 10
Ми вже можемо сказати, чому дорівнює 10 0,5 і знаємо принаймні один логарифм. Логарифм числа 3,16228 дуже близький до 0,50000. Однак потрібно ще докласти невеликих зусиль: нам потрібна докладніша таблиця. Витягнемо ще один квадратний корінь і знайдемо 10 1/4, що дорівнює 1,77828. Тепер ми знаємо ще один логарифм: 1,250 - це логарифмчисла 17,78; крім того, ми можемо сказати, чому дорівнює 10 0,75: адже це 10 (0,5 +0,25), тобто добуток другого і третього чисел з третього стовпця табл. 22.1. Якщо зробити перший стовпець таблиці досить довгим, то таблиця міститиме майже всі числа; перемножуючи числа з третього стовпця, ми отримуємо 10 майже будь-якою мірою. Такою є основна ідея таблиць. У нашій таблиці міститься десять послідовних коренів із 10; Основний працю зі складання таблиці вкладено у обчислення цього коріння.
Чому ж ми не продовжуємо підвищувати точність таблиць далі? Тому що ми вже дещо помітили. Звівши 10 дуже малий ступінь, ми отримуємо одиницю з малою добавкою. Це, звичайно, відбувається тому, що якщо звести, наприклад, 10 1/1000 в 1000 ступінь, то ми знову отримаємо 10; ясно, що `0 1/1000 може бути великим числом: воно дуже близько до одиниці. Більше того, малі добавки до одиниці поводяться так, ніби їх щоразу поділяють на 2; подивіться на таблицю уважніше: 1815 переходить у 903, потім у 450, 225 і т. д. Таким чином, якщо обчислити ще один, одинадцятий, квадратний корінь, він з великою точністю дорівнюватиме 1,00112, і цей результат мивгадалище до обчислення. Чи можна сказати, якою буде добавка до одиниці, якщо звести 10 до ступеня D/1024, коли D прагне нуля? Можна, можливо. Добавка приблизно дорівнює 0,0022511D. Звичайно, не в точності 0,0022511 D; щоб обчислити цю добавку точніше, роблять такий трюк: віднімають з 10Sодиницю і ділять різницю на показник ступеняs.Відхилення отриманого таким чином приватного від його точного значення однакові для будь-якого ступеня s. Видно, що це відносини (див. четвертий стовпець табл. 22.1) приблизно рівні. Спочатку вони таки сильно відрізняються один від одного, але потімвсе ближче підходять один до одного, явно прагнучи якогось числа. Що за число? Простежимо, як змінюються числа четвертого стовпця, якщо опускатися вниз стовпцем. Спочатку різницю двох сусідніх чисел дорівнює 0,0211, потім 0,0104, потім 0,0053 і, нарешті, 0,0026. Різниця щоразу меншає наполовину. Зробивши ще один крок, ми доведемо її до 0,0013, потім до 0,0007, 0,0003, 0,0002 і, нарешті, приблизно 0,0001; треба послідовно ділити 26 на 2. Таким чином ми спустимося ще на 26 одиниць і знайдемо для межі
2.3025. (Пізніше ми побачимо, що правильніше було б взяти
2.3026. але давайте візьмемо те, що в нас вийшло.) Користуючись цією таблицею, можна звести 10 у будь-який ступінь, якщо її показник у будь-який спосіб виражається через 1/1024. Тепер легко скласти таблицю логарифмів, тому що все необхідне для цього ми вже припасли. Процедура цього зображена у табл. 22.2, а потрібні числа беруться з другого та третього стовпців табл. 22.1.
Таблиця 22.2• ВИЛІЧЕННЯ log102
Припустимо, що ми хочемо знати логарифм 2. Це означає, що ми хочемо знати, на який ступінь треба звести 10, щоб отримати 2. Можливо, звести 10 на ступінь 1 /2? Ні, вийде занадто велика кількість. Дивлячись на табл. 22.1, можна сказати, що потрібне нам число лежить між 1/4 та 1/2.Пошук його почнемо з 1/4; розділимо 2 на 1,788. вийде 1,124. ; при розподілі ми відібрали від логарифму двох 0,250000, і тепер нас цікавить логарифм 1,124. Знайшовши його, ми додамо до результату 1/4 = 256/1024. Знайдемо у табл. 22.1 число, яке при русі по третьому стовпцю зверху вниз стояло відразу за 1,124. . Це 1,074607. Ставлення 1,124. до 1,074607 дорівнює 1,046598. Зрештою ми представимо 2 у вигляді добутку чисел з табл. 22.1:
Дляостаннього множника (1,000573) у таблиці місця не знайшлося; Щоб знайти його логарифм, треба представити це число у вигляді 10 D/1024»1+2,3025D/1024. Звідси легко визначити, що D=0,254. Таким чином, наш твір можна представити у вигляді десятки, зведеної до ступеня 1/1024 (256+32+16+4+0,254). Складаючи і ділячи, ми маємо потрібний логарифм: log102=0,30103; цей результат вірний до п'ятого десяткового знака!
Складаючи таблиці, ми натрапили на цікавий факт: якщо показник ступеня e дуже малий, дуже легко обчислити 10 e ; це просто 1+2,3025е. Це означає, що 10 n / 2,3025 =1+n для дуже малих n.Крім того, ми говорили з самого початку, що обчислюємо логарифми на підставі 10 тільки тому, що у нас на руках 10 пальців і за десятками нам вважати зручніше. Логарифми з будь-якої іншої основи виходять з логарифмів з основи 10 простим множенням. Тепер настав час з'ясувати, чи не існує математично виділеної основи логарифмів, виділеної з причин, які не мають нічого спільного з числом пальців на руці. У цій природній формулі з логарифмами повинні виглядати простіше. Складемо нову таблицю логарифмів, помноживши всі логарифми на підставі 10 на 2,3025. Це відповідає переходу до нової основи -натуральної,або основие.Зауважимо, що loge (l+n)»n або е n »1+n, коли n®0.
Легко знайти саме числое;воно дорівнює 101/2,3025 або 10 0,434294. Це 10 в ірраціональному ступені. Для обчисленняеможна скористатися таблицею коренів із 10. Уявимо 0,434294. спочатку у вигляді 444,73/1024, а чисельник цього дробу у вигляді суми 444,73=256+128+32+16+2+0,73. Числоетому дорівнює добутку чисел
(Числа 0,73 немає в таблиці, але відповідний йому результат можнапредставити у вигляді 1+2,3025D і обчислити, чому дорівнює D.) Перемноживши всі 7 співмножників, ми отримаємо 2,7184 (насправді має бути 2,7183, але цей результат хороший). Використовуючи такі таблиці, можна зводити число до ірраціонального ступеня та обчислювати логарифми ірраціональних чисел. Ось як треба поводитися з ірраціональностями.