Наукова мережа Векторний аналіз

Теорія відносності астрономів: 6.1 Коваріантне диференціювання

Кусраєв А. Г. Мажоровані оператори

Лауреати Нобелівської премії 1999 року з фізики - Г.'т Хофт та М. Велтман: Частина 2

"Вступ до криптографії" за редакцією В.В.Ященко: Порогові СРС

Теорія відносності для астрономів: 6. Аналіз у неевклідовій геометрії

Вектор домінантність моделі

Ця книга призначена для фахівців з теорії стійкості, механіки. Буде цікава аспірантам та інженерам-математикам.

Механіка суцільних середовищ: Ейлерові рівняння для ідеальної рідини.

Коливання та хвилі

Отримання пропептидів секреторних протеїназ бактерій методом гетерологічної експресії в Escherichia coli

Ааронова-Бома ефект

Бактеріоцин. Деякі особливості бактеріоцинів

Механіка суцільних середовищ: Течія в'язкої рідини. Рівняння Навье-Стокса.

Що може наробити втрачений знак "мінус"

Анігіляція

Векторний аналіз- розділ математики, в якому вивчаються скалярні та векторні поля та різні операції з ними. Скалярне поле зіставляє кожній точці (3-мірного) простору деяке (дійсне) число (, а векторне поле - деякий вектор (a=a(r)). Якщо точка задається своїми декартовими координатами, а вектор - своїми компонентами, то градієнт скалярного поля , дивергенція та ротор векторного поля виражаються формулами: ,

Градієнт, дивергенцію та ротор зручно виражати за допомогою символічного вектора (набла), компонентами якого є оператори диференціювання за координатами, діючи цим символічним вектором на скалярні та векторні поля за правилами векторної алгебри, отримаємо: , ,

Скалярний квадрат вектора є Лапласа оператор , або лапласіан, який позначається :

Формальне застосування правил векторної алгебри до вектора призводить до ряду співвідношенні між градієнтом, дивергенцією і ротором, наприклад , або ; , або ; , або При таких формальних перетвореннях слід стежити, щоб диференціальний оператор у остаточному вираженні стояв ліворуч від тієї функції, яку він діє. Якщо оператор діє на добуток двох функцій, то за правилом Лейбніца (правило диференціювання твору) можна записати результат у вигляді суми двох членів: , або , Поєднуючи правило Лейбниця з правилами векторної алгебри, можна отримувати співвідношення такого типу: або У разі більш складних алгебраїчних викладок на проміжних етапах слід відзначати стрілкою ту функцію, на яку діє оператор, не дбаючи про порядок проходження оператора та функцій, і лише на останньому етапі повертатися до звичайного порядку: або Отже, отримуємо: , , Всі основні диференціальні операції векторного аналізу мають певний сенс, тому Значення виразів, diva,rotaне залежать від вибору системи координат. Усі співвідношення між диференціальними виразами також мають інваріантний характер.

У додатках часто зустрічаються потік вектора через задану поверхню та інтеграл від нього вздовж заданої кривої: , Тут - проекція вектораaна нормаль до поверхні в даній точці, -проекція його на одиничний вектор , що стосується кривої,dS- елемент площі поверхні ,dl- елемент довжини кривої. Нехайa- розподіл швидкостей, що рухаєтьсярідини, тоді перший інтеграл дорівнює обсягу рідини, що перетинає цю поверхню в одиницю часу. Якщоa- силове поле, то другий інтеграл дорівнює роботі, що здійснюється при переміщенні пробного тіла вздовж даної кривої. Що стосується замкнутої кривою такий інтеграл називається циркуляцією векторного поля.

Ці інтеграли фігурують в основних теоремах векторної алгебри - Гауса - Остроградської формули та Стокса формули: , . Тут - поверхня, що є межею областіV, а - крива, що обмежує поверхнюS. Гуртки на значках інтегралів означають, що інтегрування ведеться по замкнутій поверхні та замкнутій кривій . Позитивний напрямок нормалі до поверхніSмає бути орієнтований щодо напрямку обходу контуру так само, як позитивний напрямок осіx3- щодо позитивного напрямку обертання в площиніx1,x2. Вважаючи у формулі Гаусса-Остроградського, отримаємо важливу теорему Гріна. Її наслідком є ​​формула Інші інтегральні теореми можна отримати як наслідки вже сформульованих: , визначені вище для евклідового простору , можна узагальнити на рімановий простір та інші різноманіття . Диференціальні операції призводять до поняття коваріантної похідної, інтегральні теореми формулюються мовою диференціальних форм.

---