Незвичайний спосіб отримання синусоїди та пов’язані з ним звичайні перетворення графіків, Соціальна
У роботі розглядається експериментальний спосіб отримання синусоїди, описаний у "Математичному калейдоскопі" Штейнгауза, та моделюються отримані результати
| neobychnyy_sposob_polucheniya_sinusoidy_i_svyazannye_s_nim_obychnye_preobrazovaniya_grafikov.rar | 2.69 МБ |
Муніципальний загальноосвітній заклад
«Киринська середня загальноосвітня школа»
Конкурс науково-дослідних робіт імені В.І.Сажіна
«Незвичайний спосіб отримання синусоїди
і пов'язані з ним звичайні перетворення графіків.
Грудініна Ксенія Олександрівна,
учениця 11 класу.
Грудініна Марія Михайлівна.
- Актуальність обраної теми;
-новизна та практична значимість;
1.Спосіб отримання синусоїди за допомогою свічки стор.2-4
та графік функції у = sinх
2. Зв'язок між перетвореннями графіків та
2.1.Розтяг від осі Ох, стиск до осі Ох і кут перерізу стор.5
2.2.Розтяг від осей Ох і Оу, стиск до осей Ох і Оу стор.6
та радіус перерізу (товщина свічки).
2.3.Сдвиг по осі Ох і точка, якою проходить стр.7
Список литературы стр.9
Вивчаючи тригонометричні функції, ми вчилися вибудовувати їх графіки звичайним чином - по точках, використовуючи числове коло та відповідні значення.
У відомій книзі Г. Штейнгауза «Математичний калейдоскоп» запропоновано незвичайний спосіб утворення синусоїди: якщо обгорнути свічку кілька разів листком паперу, потім перерізати свічку похило гострим ножем і, нарешті, розгорнути папір, то по краю вийде лінія, яка називається синусоїдою.
Япровела такий експеримент. Дійсно крива є лінією, яка називається синусоїдою.
Такий практичний спосіб отримання синусоїди має ряд переваг:
графік "вибудовується" швидко, характер лінії більш "синусоїдальний", ніж побудований від руки, а на початку вивчення теми графік, отриманий таким чином, більш наочний і вже вказує на можливість практичного застосування.
Але як пояснити результат?
Чому крива, що вийшла по краю паперу, дійсно синусоїда, яка в різних дослідах або розтягнута, або стиснута?
Як пов'язані спосіб отримання синусоїди та відомі перетворення графіків: розтягування, стиснення, зсув? Можливо, це залежить від кута нахилу розрізу, від товщини свічки умов цього незвичайного способу?
Тоді яка це залежність?
Ці питання визначили мету мого дослідження.
Мета: .Математичне моделювання
способу отримання та перетворення синусоїди за допомогою свічки.
Щоб відповісти на поставлені запитання, я повернулася до підручників з алгебри, геометрії, вивчила додаткову літературу, провела кілька експериментів, використовуючи міліметровий папір та свічки, ретельно проаналізувала отримані результати.
Перелічені завдання дослідження завершу цитатою О.М. Крилова: «Теорія без практики мертва чи безплідна, практика без теорії неможлива чи безглузда. Для теорії потрібні знання, для практики, крім того, і вміння».
Новизна роботи полягає у розгляді іншого способу отримання синусоїди та її перетворень.
Значимість роботи полягає у підтвердженні універсальної застосування математичних знань.
План практичної частини дослідження:
-проведення експерименту - підтвердження способу отримання синусоїди за допомогоюсвічки;
-Проведення експериментів зі зміненими умовами: зміна кута нахилу перерізу, використання свічок різної товщини, вибір іншої точки перерізу.
1.Спосіб отримання синусоїди за допомогою свічки
та графік функції у = sinх
Яким би не було дійсне число t йому можна поставити у відповідність однозначно певне число sin t. Щоправда, правило відповідності є досить складним і полягає в наступному.
Щоб за кількістю t знайти значення sin t, потрібно:
- розмістити числове коло на координатній площині так, щоб центр кола збігся з початком координат, а початкова точка А кола потрапила в точку (1; 0);
- на колі знайти точку, що відповідає числу t;
- знайти ординату цієї точки.
Ця ордината є sin t, а описана відповідність є тригонометрична функція у=sin х.
Знаючи значення цієї функції при заданих змінних значеннях, можна вибудувати відповідний графік, званий синусоїдою. х
Повернемося до незвичайного способу отримання графіка-розрізу паперового циліндра, отриманого за допомогою свічки та розглянемо його математичну суть.
Отже, практичну ситуацію-розріз паперового циліндра навколо свічки перекладемо мовою математики – побудуємо математичну модель.
1) візьмемо аркуш паперу прямокутної форми, зобразимо осі Ох, Оу паралельно суміжним сторонам;
2) згорнемо прямокутник у круговий циліндр навколо свічки, радіус якого приймемо за 1;
3) через т.о – кінець діаметра отриманого кола проведемо перетин, що становить з площиною кола кут 45 градусів (розріжемо круговий циліндр), отримаємо в перерізі еліпс;
4) візьмемо на еліпсі довільну т.а опустимо перпендикуляри на окружність і діаметр ОД: АВі ВС.
ΔАВС прямокутний, т.к. кут 90 градусів, кут 45 градусів за умовою, отже ΔCAB – рівнобедрений, а значить АВ=СВ.
Для одиничного кола СВ за визначенням є синусом x де x – значення дуги ОВ.
Довільно обрана точка вказує на однозначність визначення СВ: СВ=sin x,
але СВ = АВ, отже АВ = sin x.
Найбільше значення СВ = 1. Розгорнемо циліндр у прямокутник. Отже, отримана лінія – крива, на яку АВ = sin x, де x = ОВ, тобто ця крива є частиною синусоїди.
Отже, практичний спосіб отримання графіка функції y = sin x змодельовано математично.
2.1 Зрозуміло, що лінія y = sin x не буде отримана при іншому куті розрізу, оскільки АВ перевищуватиме найбільше значення СВ, що дорівнює одиниці, або не досягатиме його. Отже графік буде розтягнутий від осі x або стиснутий до неї.
Зміню умови експерименту, а саме розріжу круговий циліндр під іншим кутом – менше ніж 45 градусів. Справді вийде стисла синусоїда. Чому?
Поясню з математичної точки зору.
Тепер АВ=СВ * tg α, де α є АСВ у прямокутному ΔАВС. Оскільки чим менше кут α, тим менше значення його tg, то при меншому куті розрізу виходить стиск до осі x.
Наприклад, при куті розрізу 30 градусів, виходить: АВ = СВ * tg 30, але СВ = sin x, отже АВ = 1/√3 * sin x = 0,58 * sin x, а при куті, що дорівнює 60 градусів
АВ = √3 * sin x = 1,7 * sin x.
Отже, перетворення розтягування або стиск до осі x, що визначаються формулою
у = k * sin x задаються змінами кута розрізу, tg цього кута є коефіцієнт k.
2.2 А яке перетворення відповідатиме експерименту зі свічкою (круговим циліндром) не одиничного радіусу? x
З малюнкаявно слідує перетворення, яке задається формулою y= a * sin x/а
Експеримент, проведений зі свічкою, радіус якого більше вихідного вдвічі підтверджує це.
2.3А якщо площина перерізу не проходитиме через точку О?, а наприклад, через точку k, яка віддалена від точки Про на деякий кут φ? Зрозуміло, це буде зрушенням по осі х, формула якого y=sin (x - φ). Експеримент це ілюструє.
- Отже, синусоїда справді виходить особливим, цікавим способом, на перший погляд, далеким від математики, але зрозумілим лише з її допомогою, а суто теоретичні перетворення графіків легко здійснюються таким незвичайним способом, а саме:
- -Спосіб отримання синусоїди за допомогою свічки, описаний в «Математичному калейдоскопі» Штейнгауза, моделюється математично, тобто крива по краю паперу відповідає рівнянню у = sin х;
- -моделюються мовою математики та результати експериментів:
при зменшенні кута перерізу відбувається стиск графіка до осі х, що визначається аналітично У=к*sin х, 0
зі збільшенням кута-розтяг від осі х, У=к*sin х, к>1;
при збільшенні товщини свічки- розтягування в раз у напрямку обох осей, У=к*sin х/к, к>1
Такий зв'язок між теорією і практикою, звісно, можна використовувати щодо теми «Графіки тригонометричної функції та його перетворення». Такий спосіб – яскрава ілюстрація розв'язків тригонометричних рівнянь та нерівностей.
Іншим значенням мого дослідження може бути застосування «способу синусоїди»
на уроках праці початковій школі, де отримана плавна лінія послужить, наприклад, окрасою аплікації.
І насамкінець наведу цитату Лобачевського: «Немає жодної галузі математики, як би абстрактна вона нібула, яка колись не виявиться застосовною до явищ дійсного світу».