Нормальність розподілу залишків
Проаналізуємо нормальність розподілу залишків для можливості використання критерію Стьюдента під час перевірки статистичних гіпотез. Зробити висновок про нормальність розподілу залишків можна так:
- за гістограмою залишків;
- за числовими характеристиками асиметрії та ексцесу;
- за критерієм Пірсона.
Залишки (відхилення значень від теоретичних) є оцінками випадкового члена e рівняння регресії.
Аналізуючи якість моделі, необхідно перевірити низку статистичних гіпотез, які використовують критерій Стьюдента, яким можна скористатися у разі коли залишки розподілені за нормальним законом.
Крива щільності нормального розподілу задається функцією
деa– математичне очікування;
s – середнє відхилення квадратичне.
Наприклад, приа =0 і s = 1 крива має вигляд, наведений малюнку 3.
Рисунок 3 –Крива нормального розподілу
Візуально нормальність розподілу залишків можна визначити, порівнюючи криву щільності нормального розподілу з гістограмою частот (частин) залишків, тобто зі ступінчастою фігурою, що складається з прямокутників, основами яких є інтервали однакової довжини на осіОх, а висоти дорівнюють сумі частот значень залишків, які у інтервал. Якщо лінія, що з'єднує середини верхніх сторін прямокутників, близька до кривої щільності нормального розподілу, припускають, що розподіл залишків наближено до нормального.
Асиметрія та ексцес як числові характеристики нормально розподіленої випадкової величини дорівнюють 0. При асиметричному розподілі вершина кривої зрушена щодо ординати вибіркової середньої. Якщо асиметрія більше 0,то вершина зсунута вправо (позитивна асиметрія), якщо менше 0, то ліворуч (негативна асиметрія) (рисунок 4).
Малюнок 4 –Правостороння (а) та лівостороння (б) асиметрії розподілу
Ексцес характеризує відносну гострість або згладженість розподілу в порівнянні з нормальним розподілом. Позитивний ексцес означає відносно гострий розподіл, негативний ексцес – відносно згладжений розподіл (рисунок 5).
Малюнок 5 –Позитивний (а) та негативний (б) ексцеси розподілу
Оцінки виду кривої Гауса та значень асиметрії та ексцесу є якісними характеристиками розподілу. Для надійності виведення (з ймовірністю 0,95) перевіряється статистична гіпотеза щодо нормальності розподілу за допомогою критерію згоди Пірсона. Висувається гіпотеза про нормальний закон розподілу залишків. Для перевірки цієї гіпотези використовується статистика c 2 = має розподіл c 2 з (k–r– 1) ступенями свободи, деr– число параметрів розподілуF(x), що оцінюються за вибіркою,n– обсяг вибірки;k– число інтервалів вибіркових значень, що не перетинаються,ni– число значень вибірки, що належатьi-му інтервалу,i= 0,1, ¼,k- 1;pi– ймовірності попадання значень випадкової величини у кожен із цих інтервалів. За вибіркою обчислюється значення статистики Для обраного рівня значущості a за розподілом c 2 знаходиться число = c 2 (a;k-r- 1). Гіпотеза про нормальному розподілі випадкового члена приймається на заданому рівні значущості, якщо tкр = 2,1, коефіцієнтb0 значимий.
Аналогічно для коефіцієнтаb1 маємо наступне: tнабл = 5,26, tкр = 2,1. Оскільки tнабл = 5,26 & gt; tкр = 2,1, тому коефіцієнтb1 значимий. Для коефіцієнтаb2 маємо: tнабл = 41,85; tкр = 2,1, тому коефіцієнтb2 значимий.
p align="justify"> Значимість коефіцієнтів регресії підтверджує висунуте на етапі специфікації припущення про лінійну форму залежності факторів.