НОУ ІНТУІТ, Лекція, Базиси Гребнера

10.7. ВИЗНАЧЕННЯ. Ми говоримо, що багаточленінволютивно редукується до многочленаза допомогою багаточленаза монимm і пишемо, опускаючи згадку про моном , , якщо редукується до звичайного сенсу, і . Природно визначається ставлення для довільної множини багаточленів та її транзитивне і рефлексивно-транзитивне замикання.

Якщо задано ставлення редукції, то визначено нормальну форму, яка в даному випадку називається інволютивною.

Немультиплікативним продовженнямбагаточлена називатимемо його твір на деяку немультиплікативну для його старшого монома змінну.

10.8. ПРИКЛАД. Нехай - кінцеве підмножина. Для кожного розділимо безліч на групи, позначені негативними цілими числами:

10.9. ВИЗНАЧЕННЯ. Нехай - кільце багаточленів від змінних, - ідеал кільця, - кінцеве безліч і - інволютивний поділ на безлічі мономів. Безліч називаєтьсяінволютивним базисомідеалу, якщо для будь-якого ненульового елемента єінволютивне уявлення

\theta_\u_>,\notag \end">(10.1)

10.10. ТЕОРЕМА.Нехай- кільце багаточленів від змінних,- ідеал кільця,- кінцева множина і- інволютивний поділ на безлічі мономів>.Припустимо, що безлічнормалізовано таким чином, щодля всіх . Тоді еквівалентні такі умови:

  1. є інволютивним базисом ідеалу;
  2. інволютивно породжує;
  3. для будь-якого має місце;
  4. якщо і інволютивно нередуковані, то ;
  5. якщо й інволютивно не редукуємо, то .Наступні умови є необхідними для виконання попередніх, і якщобезлічпороджує ,то вони є і достатніми:
  6. Якщо і , то допускає інволютивне уявлення;
  7. для будь-яких та .

Доказ залишається читачеві як вправу.

Маючи інволютивний базис та інволютивний поділ, можна побудувати алгоритм нормальної форми наступним чином: для кожного багаточлена утворюємо безліч його інволютивних кратних; безліч є базисом лінійного простору , причому будь-який моном може бути не більше, ніж в одному елементі цього базису. Для будь-якого многочлена ми можемо виключати ті його складові, які є старшими мономами в безлічі інволютивних кратних. Легко показати, що багаточлен, що не редукується, виходить після таких винятків, не залежить від порядку цих винятків. Проте, щоб уникнути повторних винятків однієї й тієї ж монома (зразковими коефіцієнтами), природно проводити ці дії порядку спадання мономов. Таким чином, ми отримуємо алгоритм нормальної форми.

Звичайно, не всякий алгоритм нормальної форми може бути отриманий таким чином. Виникає завдання опису тих алгоритмів нормальної форми, які визначаються за допомогою інволютивних базисів.

10.11. ПРОПОЗИЦІЯ, ЗАПРОШЕННЯ, РЕЧЕННЯ.Якщо безліч старших мономів багаточленів з ідеалу розбивається на конуси, що не перетинаються так, що елементи одного конуса редукуються по одному багаточлену з базису, то відповідний інволютивний поділ виглядає наступним чином:для вершини конуса мультиплікативними є змінні, , а всередині конуса розподіл задається довільним чином.

ДОВЕДЕННЯ . Формально зазначений інволютивний поділ задається так: нехай - довільний інволютивний поділ, що відповідає конусу з вершиною вмономі. Покладемо

  1. ;
  2. - за визначенням ;
  3. , Але тоді , отже, . Звідси;
  4. .

За визначенням, будь-який старший моном багаточлена ідеалу інволютивно редукується до вершини відповідного конуса, крім того, нормальна інволютивна форма завжди єдина. Алгоритм нормальної форми, заданий цими конусами, влаштований так само. Тому відповідність алгоритму нормальної форми та інволютивного поділу встановлено.